2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03236
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| Research Institution | University of Yamanashi |
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Principal Investigator |
小池 健二 山梨大学, 大学院総合研究部, 准教授 (20362056)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 超幾何関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
BeukersとHeckmanは超幾何関数のモノドロミー群を微分Galois理論の観点から考察し、一般超幾何関数のモノドロミー群が有限群になるパラメータ、及び無限群になる場合のZariski閉包を決定した。多変数の超幾何関数に対して類似の結果は殆ど知られていなかったが、後藤良彰氏(小樽商科大学)との共同研究でLauricellaの超幾何関数FCに対し著しい結果を得た。その過程で、Appellの超幾何関数F4の異なる積分表示が一致することを代数的な変換で示せるかという問題を考察した。これはKontsevich-Zagierによって予想された周期の問題の特殊な場合である。パラメータが特殊な場合はKummer曲面の周期積分として捉えることができ、楕円曲面の構造を利用して積分表示に対応した微分形式の代位数的な変換を決定できるが積分路の明示的な対応はわかっていない。また、高次元の場合にFCの積分表示がCalabi-Yau多様体の周期積分になる場合があるが、このときのモノドロミー群の算術性に関しても考察を続けている。Lauricellaの超幾何関数FAに関するDeligne-Mostow-Teradaの結果の様な楕円曲線やの様な一意化微分方程式は、モノドロミー群のZariski閉包の次元を考えると、残念ながら得られそうもないが、格子（整数係数部分群）のfinite indexの部分群になっているかという問題は興味深い問題である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
超幾何関数のモノドロミーの考察は順調に進んでいるが、K3曲面の４次元族に関しては進展が得られなかった。大学院改組に伴い研究以外の業務が想定以上に増加したこともあり、研究協力者との打ち合わせや、予定していた研究集会などに参加できなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き超幾何関数のモノドロミーの数論的性質、特殊な代数多様体の周期について研究を行う。また、主偏極でないKummer曲面に対しMumfordによるテータ関数の2次関係式を用いた代数方程式の記述と普遍族の構成を試みる予定でいる。今年度は大学の業務などの関係で長期出張が出来なかったが、今後は遠方の研究協力者との連絡を取りながら、停滞している共同研究を再開したい。
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