特殊関数と代数幾何

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03236
• Research Institution: University of Yamanashi
• Principal Investigator: 小池 健二 山梨大学, 大学院総合研究部, 准教授 (20362056)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 超幾何関数

Outline of Annual Research Achievements

（１）超幾何関数のモノドロミー群については多くの研究があるが、微分Galois群の決定BeukersとHeckmanによる一般超幾何関数に対する結果しか知られていなかった。小樽商科大学の後藤良彰氏との共同研究により、Lauricellaの超幾何関数FCに対し行われたモノドロミー群のZariski閉包に関する研究成果を論文
Picard-Vessiot groups of Lauricella's hypergeometric systems EC and Calabi-Yau varieties arising integral representations
としてまとめたが、これが雑誌The Journal of the London Mathematical Societyに受理された。本論文に付随するいくつかの問題を考察したが、十分な結果は得られていない。
（２）Picard数が大きい代数曲面の構成については古くから多くの結果が知られている。例えば3次元射影空間内の非特異代数曲面がどれだけ直線を含むかという問題に対しては、有限群の不変式を用いた構成などがある。一方高次元の多様体に対しては、代数的サイクルを多く含む多様体の構成は曲面の場合に比して少ない様に思われる。塩田徹治氏等によるFermat多様体の例の様に、代数的サイクルの計算が具体的に可能な高次元超曲面の属を考察し一定の結果が得られている。査読付き雑誌で論文として発表する為には、より深い結果が必要であるので、今年度引き続き考察を続ける。また主偏極でないKummer曲面に対しテータ関数の2次関係式についての考察も行った。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

超幾何関数のモノドロミー群について著しい結果が得られ、査読付き雑誌に受理された。現在は特殊な超曲面の代数的サイクルについて考察をしている。

Strategy for Future Research Activity

主偏極でないKummer曲面に対しテータ関数の2次関係式を用いた代数方程式の記述と普遍族の構成や、Fermat多様体の様な特殊な代数多様体の属に対し、代数的サイクルを調べる予定である。