2019 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
18K03237
|
|---|
| Research Institution | Nagoya University |
|---|
Principal Investigator |
谷川 好男 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 招へい教員 (50109261)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
|
| Keywords | ハーディ関数およびその導関数 / ２乗平均 / 近似関数等式 / リーマン-ジーゲル公式 / グラムポイント / ２重ゼータ関数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の第１の目標はハーディー関数 Z(t)の導関数の２乗平均の改良であった．そのためZ(t)の導関数の近似関数等式における誤差項をリーマン-ジーゲル公式を用いて O(t^{-1/4}\log^{k}t)からO(t^{-3/4}\log^{k-1}t)に改良した.その応用として Z(t) の k 回導関数の２乗平均の誤差項を,まさしくホールが予想したように O(T~{1/2}\log^{2k+1}T) にまで改良することに成功した．この結果は南出真氏との共同研究として論文にまとめ Journal of Mathematical Analysis and Application から出版予定である．
リーマンゼータ関数の臨界線上における値が実数になる点をグラムポイントという．100年以上前にグラムは, グラムポイントと臨界線上のゼロ点は交互に現れる傾向があることを注意している．その後ティッチュマルシュは N 個までのグラムポイントにおけるハーディ関数の値の和について漸近公式を得ている．彼の結果では誤差項は本質的にO(N^{3/4})であったが, 我々はそれを O(N^{1/4}) にまで改良することができた．この結果は論文としてまとめ投稿中である．
２重ゼータ関数の平均値定理についても研究を進めた．昨年度に得た２重ゼータ関数のいわゆる臨界領域 0<\sigma_j<1 における新しい表示を用いて, 絶対収束領域から離れたところでの２乗平均の漸近的な挙動を明らかにすることができた．これは先行研究の木内-南出氏の結果を大きく凌駕するものである．この結果は D. Banerjee 氏, 南出真氏との共同研究としてTokyo Journal of Mathematics から出版予定である．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ハーディ関数の導関数の２乗平均に関するホールの予想を証明できたこことは大きな成果であった．さらにグラムポイントにおけるハーディ関数の平均についても, イヴィッチの近似関数等式など最近の結果を用いて, ティッチュマルシュの結果を大きく改良できた．２重ゼータ関数の２乗平均では,２重ゼータ関数の新しい表示をうまく応用でき，良い結果が得られた．
|
| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題では, ディリクレ約数問題の誤差項のハイブリッドな平均値の研究も一つの柱になっている．この方向としてはすでにイヴィッチ, ジャイの研究がすでにあるが，私は特に２次元約数問題(いわゆるディリクレ約数問題)と３次元約数問題の誤差項を組み合わせでもっと複雑なものを扱っていきたい．すでにいくつか準備を始めているが，このようなハイぶブリッド平均値を通してそれら誤差項たちの相互関係を理解するのが目標である．
合同条件の付いた約数和について, チャウラ-ワルムの表示式からヴォロノイ公式を出し，その総和の誤差項の高次べき平均を考えたい．
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスのため, 令和２年３月に予定していた研究打ち合わせや, 日本大学で予定されていた日本数学会年会が中止になったため．
今年度の研究をさらに推進するため, 連携研究者との研究打ち合わせに有効に使っていきたい．
|
