2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K03237
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
谷川 好男 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 招へい教員 (50109261)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 数論的誤差項 / 約数問題 / ヴォロノイ公式 / トングタイプのヴォロノイ公式 / 高次べき平均 / ハイブリッド型平均 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数論的誤差項のハイブリッド型の平均値問題を,W.Zhai氏, X.Cao氏と共同で研究した．特に2次の約数関数と3次の約数関数の総和から得られる数論的誤差項 Δ_2(x)とΔ_3(x)に関し，Δ_3(x)の2乗とΔ_2(x)の積，Δ_3(x)の2乗とΔ_2(x)の2乗の積, Δ_3(x)の2乗とΔ_2(x)の3乗の積の平均挙動を明らかにした．第1の場合は上からの評価しか得られなかったが,後の２つでは漸近挙動を示すことができた．Δ_3(x)とΔ_2(x)は性質の異なる数論的誤差項であるにもかかわらず, 双方が2乗以上の積の平均には主要項が存在するのは面白い現象であると思う．証明に使った主な道具はヴォロノイ公式であるが，Δ_3(x)には通常のヴォロノイ公式では誤差項の評価が悪いので, 我々が以前共同研究したトングタイプのヴォロノイ公式を適用した．また証明の途中でΔ_2(x)のヴォロノイ公式の中の,最初の有限項を除いた級数の高次べき平均(特に４乗平均)のシャープな結果を導いた．それにはロバート-サルゴスの指数和の深い結果を用いた．その応用としてΔ_2(x)の6乗から9乗までの平均について,従来知られていた誤差項の評価を改良することができた．この研究は論文 "On hybrid moments of \Delta_2(x) and \Delta_3(x)" としてまとめ，Ramanujan Journal にアクセプトされた．
更にΔ_2(x)とΔ_2(x^α) の積の平均を研究した. α=2 のときは上からの評価としては α=1 のときと同じであることを見出した．そのため1<α<2 の中に上からの評価を最小にするものがあるかと期待したがそうではなく, αに関して単調増加で α=1 のところで不連続になることが分かった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
令和２年は新型コロナウイルスの感染が広まり，研究打ち合わせの出張ができなかった．そのためメールでのやり取りが主流になったが, やはりメールでは思うように議論ができず少し遅れ気味になってしまった．
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| Strategy for Future Research Activity |
２次の約数問題から生ずる数論的誤差項Δ_2(x)についてΔ_2(x)とΔ_2(x^α)のハイブリッド型平均値定理をすべての α>1 について完成させる. さらにΔ_2(x)またはΔ_3(x)とリーマンゼータ関数の絶対値の2乗のハイブリッド型平均値定理を推し進める．特にΔ_2(x)とリーマンゼータ関数のハイブリッド型平均は IvicとZhaiによる先行研究があるが, 今回Δ_2(x)の高次べき平均を改良した手法を応用すれば, 彼らの結果も改良できると思う．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染拡大により, 国内，国外の出張ができなくなり本年度使用額が生じた．本年は国内の共同研究者との研究打ち合わせを定期的に行い, 目標達成のため有効に使いたい．
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