2022 Fiscal Year Annual Research Report
Research on the mean values of zeta-functions and arithmetical error terms
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18K03237
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
谷川 好男 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 招へい教員 (50109261)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 数論的誤差項 / ハーディ関数 / 保型ハーディ関数 / 二重ゼータ関数 / ハイブリッド平均値 / 近似関数等式 / ヴォロノイ公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
リーマンゼータ関数ζ(s)に対するハーディ関数 Z(t)は,ζ(1/2+it) の偏角を調整して実数化したもので, ζ(s)の臨界線上の零点の分布の研究に不可欠な道具である．実際 ハーディ及びハーディとリトルウッドは,ζ(1/2+it)の臨界線上の零点の個数の評価に用いた. その後カラツバやホールによるζ(1/2+it)の隣接零点の分布の研究や, イヴィッチ, ユティラによるハーディ関数の平均値の研究が盛んに行われた.
本研究課題の一環として, 以前私は海外研究協力者とともに, Z(t)とζ(1/2+it)の混合型平均値について研究したが,そのうちの一つはZ(t)^2ζ(1/2+it)の平均値で, cT P(log T) + O(T^{3/4}(logT)^2)なる漸近式を得ていた．ここで c は定数, P(u) は2次の多項式である．2022年度はその継続として, SL(2,Z)に関する重さkの保型形式 f(z) に付随する L 関数 L(s,f)を,その関数等式を用いて実数化して保型ハーディ関数 Z(t,f) を定義し, Z(t,f)ζ(1/2+it), Z(t,f)Z(t) の混合型平均値を研究した．これは国内の研究協力者との共同研究である．我々は L(s,f)ζ(s)の smooth weight付きの近似関数等式を用意し, それに指数和変換公式を適用して, Z(t,f)ζ(1/2+it) の平均値が, e^{πik/4} L(1,f)T + O(T^{3/4+ε})なる漸近式を持つことを示すことができた.これは上記の Z(t)^2とζ(1/2+it)の混合型平均値に対応するものであり興味深い. しかしもう一方の Z(t,f)Z(t) については, 偏角の振動が大きすぎ上からの評価 O(T^{1+ε})しか得られなかった．
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