ある種の正規代数曲面の構造

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03240
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 中山 昇 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (10189079)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 代数幾何 / 代数曲面 / 自己正則写像

Outline of Annual Research Achievements

研究目的 (A) の全射非同型な自己正則写像をもつ正規射影的代数曲面について, 昨年度はこのような曲面に現れる特異点に関して主に研究したが, 今年度はその結果と過去の研究で得られた結果をまとめて論文にする, ということを行なってきた. それは未完成で現在執筆中だが, いくつかの論文に分ける予定である. その中には１０数年前の元のプレプリントの中心部分, その後得られた一昨年前までの結果, 昨年の特異点についての結果, および以下に述べる今年度の研究で得られた結果をまとめる予定である. 主な結果の証明を述べるには基本となるいくつかの結果やその発展系などが必要になり, その部分の解説, 証明に思いの外ページ数が必要になる. そのため論文を分割したり, できるだけ読みやすい形にすることを心がけている.

過去の分類結果では, 有理曲面で標準因子と特性完全不変因子の和が擬正とならない場合の曲面の構造が未解明だった. この残された場合の解明が今年度は大きく進んだ. まだそこで使われた証明の検証が終わっていないが, この残された場合でピカール数２以上のものの構造がほぼ決定できたようである. これらの結果の証明では擬トーリック曲面, 半トーリック曲面, 有理曲線の線型鎖, 有理曲線をファイバーとするファイバー空間, などについて過去の研究で得られた結果が多く使われる. これらの証明の検証と新たに得られた結果などを上記の論文の中に取り込むことを同時並行で行なっている.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

残された場合の解明は予想以上にうまく進んだ一方, 論文をまとめる作業は, その内容の多さのため時間がかかっている.

Strategy for Future Research Activity

研究目的 (A) の全射非同型な自己正則写像をもつ正規射影的代数曲面の構造については, 上記の証明をチェックし, 論文を書き上げるつもりである. またそれが終了次第, 研究目的 (B) の非有理特異点をもつ正規４次曲面の定義方程式の研究をはじめる.

Causes of Carryover

新型コロナの影響で参加予定の研究集会が中止になり, その額が次年度にまわることになった. 次年度では, コロナがおさまらない場合は, 旅費はほぼ使わず, 書籍, パソコン関連品の購入に使用したい.