2020 Fiscal Year Research-status Report
A study on zeta functions of graphs via harmonic analysis and its applications
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18K03242
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
山崎 義徳 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00533035)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Ramanujan グラフ / Ihara ゼータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度も昨年度に引き続き、Lubotzky-Phillips-Sarnak によって構成されたグラフの一般化についての研究を行った。これは一般の四元数環とその整環に対して構成されるグラフであり、Lubotzky-Phillips-Sarnak、Chiu らによって、特別な場合に Ramanujan グラフであることが確認されている。昨年度は、整環として Ibukiyama によって与えられたパラメータ付き極大整環を用いたが、本年度はもう少し一般化して、Hashimoto によって与えられたパラメータ付き Eichler 整環を用いたグラフを考察した。具体的には、考察したグラフが Ramanujan グラフかどうかを調べるため、その整環の元で、ノルムが素数であるものたち全体のなす集合と、整環の単数群の構造の関係について考察した。しかし、昨年度から残っていた単数群に関する問題を解決することができず、Ramanujan グラフかどうかの判定には至っていない。以上は筑波大学の Hyungrok Jo 氏と日本大学の杉山真吾氏との共同研究である。一方で、一般の有限グラフに対する基本群の表現付き Ihara ゼータ関数の対数微分についての研究 (原点における Taylor 係数を明示的に求めること) も昨年度に引き続き行った。具体的には、Petridis-Risager による基本群が自由群でかつ表現が1次元の場合の結果を2次元表現、3次元表現の場合に一般化することを試みた。計算機を用いることで小さい次数の場合の Taylor 係数を計算することができたので、来年度はこれを踏まえて一般の場合を考察する予定である。以上はニューヨーク市立大学シティカレッジの Gautam Chinta 氏との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上記 Lubotzky-Phillips-Sarnak 型グラフについては、昨年度の問題点を解決するに至らなかったため、本質的な部分では研究を進めることができなかった。一方で、問題設定を Eichler 整環まで広げることができるという事実は、Ramanujan グラフに関するこれまでの研究にはない重要な指摘であると考えられる。今後はこのより広い枠組みで議論を行っていきたいと考える。また、Ihara ゼータ関数の対数微分の原点における Taylor 係数に関する研究については、これまでの研究に関連して生じた新たな研究課題であるため、問題設定を含めてまだ検討する余地が残っていると考えられる。今後は本年度に行った具体例の計算を踏まえ、ゼータ関数論とグラフ理論の両方の目線から議論を整備していきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
まず Lubotzky-Phillips-Sarnak 型グラフに関する研究に対しては、これまでに解決していない単数群に関する問題について完全解決することを目標とする。具体的には、単数群が±1の場合には問題は解決しているので、それを踏まえて単数群の位数を少しずつ増やし、そのことがグラフにどのような影響を与えるかについて調べる。その過程で問題解決の方針や糸口が明らかになると期待される。また、Eichler 整環を用いたグラフについては、まだ持っている情報が少ないので、計算機を用いた数値実験と並行しながら Ramanujan グラフの理論的な可能性を模索する。一方で Ihara ゼータ関数の対数微分の原点における Taylor 係数に関する研究については、本年度計算した2次元表現、3次元表現における次数が小さい場合の具体例を参考にして、一般の場合の Taylor 係数の明示公式を得ることを目標とする。さらに、その公式を一般次元の場合に拡張できないかについても考察する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大の影響で予定していた出張がすべてオンラインとなり、旅費として計上していた研究費を使用することができなかった。この分は、来年度基本的には旅費として使う予定ではあるが、コロナの状況を見て適宜判断したい。旅費としての使用が難しい場合は専門書等を購入するための物品費として使用する予定である。
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