2019 Fiscal Year Research-status Report
Stanley-Reisner イデアルの算術階数とその記号的べきの射影次元
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18K03244
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
寺井 直樹 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (90259862)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木村 杏子 静岡大学, 理学部, 講師 (60572633)
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
宮崎 誓 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (90229831)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Stanley-Reisner ideal / second power / edge ideal |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、Stanley-Reisner イデアルのべきについてその可換環論的、ホモロジー代数的性質を考察し、組合せ論的応用を探ることにある。可換環の満たす最も重要な性質としてCohen-Macaulay性がある。したがって、Cohen-Macaulay性を判定する条件を与えることや、そのような環を分類することは極めて意義深いことである。
その3乗以上のべきがCohen-Macaulayになる必要十分条件は元のStanley-Reisner イデアルが完全交差であることはすでにわかっているので今年度もまた2乗に焦点を当てて研究を行った。昨年度はその2乗がCohen-Macaulay性をもつStanley-ReisnerイデアルについてGiancarlo Rinaldo氏とともにデータベース作りを行ったのであるが、今年度は頂点数がより大きなものを調べるためにイデアルの生成元が２次であるものに限って調べた。環の次元に応じて頂点数の上からの評価を行ったが、環の次元が４以下のときは頂点数が１３個以下で抑えられることが分かったのでその場合について分類を行った。頂点数が１１個、１２個、１３個のもので今まで知られていないものが見つかった。
一般のStanley-Reisnerイデアルについては２乗のCohen-Macaulay性と（S２）性が同値でない反例が見つかったが、イデアルの生成元が２次であるものに限れば、同値になることが
Do Trong Hoang 氏との共同研究により示せた。結果をまとめて３人の共著論文として発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計画通り、その２乗がCohen-Macaulay性をもつ辺イデアルについてGiancarlo Rinaldo氏とともにデータベース作りが実行でき、環の次元が４次元以下の場合について分類できた。
また、一般のStanley-Reisnerイデアルについては２乗のCohen-Macaulay性と（S２）性が同値でない反例が見つかったが、Do Trong Hoang 氏との共同研究により、イデアルの生成元が２次であるものに限れば、同値になることを示すことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度はGorenstein性を持つもの（Cohen-Macaulay typeが１であるもの）の中でlicciであるものを分類することを考えたが、Cohen-Macaulay typeが２以上であるものについてlicci性を分類することを考えたい。
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| Causes of Carryover |
年度末の春季休業期間に国内出張１件と海外出張１件を予定していたが、新型肺炎の影響で
取りやめざるを得なかった。
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