2023 Fiscal Year Annual Research Report
Arithmetical rank and projective dimension of powers of Stanley-Reisner ideals
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18K03244
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
寺井 直樹 岡山大学, 環境生命自然科学学域, 教授 (90259862)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
木村 杏子 静岡大学, 理学部, 准教授 (60572633)
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
宮崎 誓 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 教授 (90229831)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Stanley-Reisner ring / edge ideal / projective dimension / arithmetical rank / simplicial complex |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、Stanley-Reisner イデアルのべきについてその可換環論的性質を考察し、組合せ論的応用を探ることにある。可換環の満たす最も重要な性質としてCohen-Macaulay性がある。したがって、Cohen-Macaulay性を判定する条件を与えることや、そのような環を分類することは極めて意義深いことである。
その3乗以上のべきがCohen-Macaulayになる必要十分条件は元のStanley-Reisner イデアルが完全交差であることはすでにわかっているので2乗に焦点を当てて研究を行った。2乗がCohen-Macaulay性をもつStanley-ReisnerイデアルについてGiancarlo Rinaldo氏とともにデータベース作りを行ったのであるが、特に頂点数がより大きなものを調べるためにイデアルの生成元が２次であるものを調べた。環の次元に応じて頂点数の上からの評
価を行ったが、環の次元が４以下のときは頂点数が１３個以下で抑えられることが分かったのでその場合について分類を行った。頂点数が１１個、１２個、１３個のもので今まで知られていないものが見つかった。また、イラン人数学者M. R. Pournaki、M. Poursoltani,S. Yassemi と次のような共同研究を行った。Stanley-Reisner 環の局所コホモロジーの双対加群の次元からなるベクトルを導入した。このベクトルはStanley-Reisner 環のSerre指数や深さの情報を含むものである。それにより深さの下限に関する定理を示した。また、余次元２で高いSerre 指数を持つものを分類した。それを用いてそれらに対して算術階数と射影次元が一致することを示した。さらに、h列の計算を行い、Serre条件を満たすStanley-Reisner 環に関するある予想の反例を与えた。
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