The modular representation theory of combinatorics structures and its applications

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03245
• Research Institution: Nagasaki University
• Principal Investigator: 島袋 修 長崎大学, 教育学部, 准教授 (40413736)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: アソシエーションスキーム / モジュラー表現 / モジュラー隣接代数 / モジュラー標準加群

Outline of Annual Research Achievements

アソシエーションスキームの理論は、統計学、特に分散分析における実験計画法の理論から生まれた。代数学と組合せ論の両方に属する理論であり、ある意味で群の一般化とみなすことができる。よって群の表現（行列に帰着させて構造をとらえる手法）と同様にアソシエーションスキームの表現を考える事ができる。
本研究の目的は、アソシエーションスキームの表現を調べ、それを組合せ構造の様々な理論に応用することにある。
ボースメ・メスナー代数とは標数0の体上におけるアソシエーションスキームの隣接代数で常に半単純である。これまで多くの結果が得られている。一方、正標数の体上におけるアソシエーションスキームの隣接代数はモジュラー隣接代数とよばれており、得られている研究結果は多くない。また、隣接代数には、自然な表現とそれに付随する加群がある。これらを標準加群とよんでいる。モジュラー隣接代数に付随する加群をモジュラー標準加群とよんでいる。花木章秀氏（信州大学）と吉川昌慶氏(兵庫教育大)により、クラス2のモジュラー標準加群の構造から強正則グラフのパラメータよりも詳細な特徴付けの可能性が示唆されている。
モジュラー標準加群の構造を決定するには、モジュラー隣接代数の構造の解明が不可欠である。最も有名なアソシエーションスキームの一つであるハミングスキームについて、吉川氏により多項式環の単項式イデアルによる剰余環と同型であることが証明されている。
今年度、ハミングスキームH(n,2)の標数2の体上におけるモジュラー標準加群の構造を決定できた。実際にはモジュラー標準加群の直既約直和分解の方法を明らかにできた。これは、言い換えるならば高々1次のn変数多項式からなる標数2の体上の代数FXと、変数のインデックスへのn次対称群の作用で不変な元からなる部分代数FSを考えた時、FXを右FS加群として、その直既約直和分解を得たことになる。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

モジュラー標準加群の直既約直和分解を求めるに当たって、直既約性の証明には、一般パラメータに対しての証明を行うため、基となる組合せ構造を反映させる簡易な基底を見つける必要があるが、ハミングスキームの場合、構造が単純であるがゆえ、可能性のある基底の取り方が膨大だったため決定に時間がかかった。

Strategy for Future Research Activity

2019年度は、前年度明らかにしたパラメータqが2の場合のハミングスキームのモジュラー標準加群の構造を基にし、パラメーターqが2以外のハミングスキームのモジュラー標準加群の構造決定の検討を行う。パラメータqを一般的にすると隣接代数の構造が複雑になることが分かっているので、手始めにパラメータqが2べきの場合の構造決定を行う予定である。この場合、隣接代数構造はH(n,2)と同型であるが、モジュラー標準加群の構造は異なると思われる。