The modular representation theory of combinatorics structures and its applications

2021 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03245
• Research Institution: Nagasaki University
• Principal Investigator: 島袋 修 長崎大学, 教育学部, 准教授 (40413736)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: アソシエーションスキーム / モジュラー表現 / 隣接代数 / 標準加群

Outline of Annual Research Achievements

アソシエーション・スキームは、有限可移置換群の性質を抽象化した純粋な組合せ論的概念であるが、有限群の一般化という見方もできる。
アソシエーション・スキームのボース・メスナー代数とは、アソシエーション・スキームから得られる隣接行列たちを標数0の体上の多元環である。この場合、常に半単純である。特に、実数や複素数体上で考えることで今まで多くの結果が得られてきた。同様に、任意の体上で同様の多元環を考えることはできる。この場合、半単純であるとは限らないが、正標数の体上の隣接行列から得られる多元環をモジュラー隣接代数とよぶ。
花木 章秀氏(信州大学)・吉川 昌慶氏(兵庫教育大)は、正標数の体上のクラス2(隣接関係の種類が2種)のアソシエーション・スキームのモジュラー隣接代数の構造（生成元と関係式）を求めた。また、頂点集合の元を基底と同一視して得られるベクトル空間でモジュラー隣接代数が自然に作用するモジュラー標準加群の考察を行い、モジュラー標準加群の直規約直和分解が、代数的に同型なアソシエーションスキームを区別できる可能性を示唆した。しかし、一般に、モジュラー隣接代数やモジュラー標準加群の構造を決定する理論は得られていない。
本研究では後者に関して有名なアソシエーション・スキームの一つであるP&Q多項式スキームの表現、つまり、P&Q多項式アソシエーション・スキームから得られる隣接代数を正標数の体上で考えた場合の生成元と関係式を考え、それをもとにしてアソシエーション・スキームの頂点集合と隣接代数が作用する加群の構造を考えた。