• Search Research Projects
  • Search Researchers
  • How to Use
  1. Back to project page

2018 Fiscal Year Research-status Report

Study on exponential Diophantine equations related to Jesmanowicz' conjecture

Research Project

Project/Area Number 18K03247
Research InstitutionOita University

Principal Investigator

寺井 伸浩  大分大学, 理工学部, 教授 (00236978)

Project Period (FY) 2018-04-01 – 2021-03-31
Keywords指数型不定方程式 / 整数解 / Baker理論 / Jesmanowicz予想
Outline of Annual Research Achievements

a,b,cを互いに素な固定された1より大きい正の整数とする. このとき, 指数型不定方程式 a^x+b^y=c^z (1) の正の整数解 x,y,z を考える. Mahlerは, Thue-Siegelの方法を用いて, (1) が高々有限個の解x,y,zを持つことを示した. 2015年, LeはBaker理論を用いて, max{x,y,z}< 155000(log m)^3 を導いた. ここで, m=max{a,b,c} である. Leの求めた上界はとても大きいので, 計算機を使って(1)の解を決定することはまだ難しい. 研究代表者は, 解の大きさの評価より,ある条件のもとでの解の決定に大いに興味をもつ. 指数型不定方程式(pm^2+1)^x+(qm^2-1)^y=(rm)^zは,ある条件の下で, ただ一つの正の整数解(x,y,z)=(1,1,2)を持つことを示すことが出来た. ただし, p,q,rはp+q=r^2を満たす正の整数である. これらの結果を論文として纏め雑誌に投稿する予定である.「指数型不定方程式(3pm^2-1)x + (p(p-3)m^2 + 1)^y = (pm)^z」という題目で第139回日本数学会九州支部例会(於J:COM ホルトホール大分)において講演した.また、「ピタゴラスから拡がる指数型不定方程式の世界」という題目で数理情報科学さくらセミナー2019(於鹿児島大学理学部)においても講演した.

2018年10月6日・7日に鹿児島大学郡元キャンパス総合教育研究棟において,「2018 大分鹿児島整数論研究集会」を代表世話人として主催した. 多重ゼーター関数, 数論幾何学, 代数的整数論, 解析的整数論, 数学史 に関する素晴らしい講演が行われ, 若い大学院生を含めて多くの出席者があった. 各講演について活発な質疑応答があり, 整数論の研究者と有意義な意見交換ができた.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

p,q,rをp+q=r^2を満たす正の整数とする. 指数型不定方程式(pm^2+1)^x+(qm^2-1)^y=(rm)^z (*)について, いくつかの条件の下で, 初等的方法でxは奇数, yは奇数, zは偶数と示すことができた. mが偶数の場合は(*)が合同式で自明な解しか持たないことを簡単に導ける. mが奇数の場合は(*)をPillai方程式に帰着し, Baker理論を用いて解くことが出来る.

Strategy for Future Research Activity

a,b,cを固定された互いに素な正の整数とする. 指数型不定方程式 a^x+b^y=c^z は正の整数解(x,y,z)を持つことが知られているが, a,b,cが三項関係を持つときに, 正の整数解(x,y,z)を決定したい. 例えば, a^2+b^2=c^2,a^2+b^2=c,a+b=c^2 のときにBaker理論, BHV定理, 一般化されたFermat方程式に関する結果等を用いて, 指数型不定方程式 a^x+b^y=c^zに関する新しい結果や予想を導きたい.

Causes of Carryover

本務校業務と重なり「指数型不定方程式の文献資料調査」を見送ったため, 旅費に残額が生じた. これを次年度に「指数型不定方程式の文献資料調査」として, 旅費に使用する予定である.

  • Research Products

    (6 results)

All 2019 2018

All Presentation (5 results) (of which Invited: 5 results) Funded Workshop (1 results)

  • [Presentation] ピタゴラスから拡がる指数型不定方程式の世界2019

    • Author(s)
      寺井伸浩
    • Organizer
      数理情報科学さくらセミナー2019
    • Invited
  • [Presentation] On the Diophantine equation x^2+b^m=c^n with a^2+b^4=c^22019

    • Author(s)
      寺井伸浩
    • Organizer
      大分数論セミナー
    • Invited
  • [Presentation] 階乗と冪を含む不定方程式について2018

    • Author(s)
      寺井伸浩
    • Organizer
      北陸数論セミナー
    • Invited
  • [Presentation] 指数型不定方程式 (3pm^2-1)^x+(p(p-3)m^2+1)^y=(pm)^z について2018

    • Author(s)
      寺井伸浩
    • Organizer
      第139回日本数学会九州支部例会
    • Invited
  • [Presentation] On the generalized Ramanujan-Nagell equation x^2 + (2c-1)^m = c^n2018

    • Author(s)
      寺井伸浩
    • Organizer
      群大桐生数論セミナー
    • Invited
  • [Funded Workshop] 2018大分鹿児島整数論研究集会2018

URL: 

Published: 2019-12-27  

Information User Guide FAQ News Terms of Use Attribution of KAKENHI

Powered by NII kakenhi