2019 Fiscal Year Research-status Report
表現論的構造のパラメタ変形がもたらす特殊関数・組合せ論の研究
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18K03248
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
木本 一史 琉球大学, 理学部, 教授 (10372806)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | アルファ行列式 / 非可換調和振動子 / 帯球関数 / プレシズム / スペクトルゼータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題では表現論的構造のパラメタ変形に由来する問題を対象としている．本年度は，アルファ行列式(関連して帯球関数，プレシズムなど)と非可換調和振動子(のスペクトルゼータ関数の特殊値)について以下のような研究を行った．
(1) 対称群の帯球関数およびラテン方陣に関するAlon-Tarsi予想と密接に関連するプレシズムについて，Howe双対性((GL_n,GL_k)-双対性)の立場から多項式環において構成されるある代数を利用した一般線形群のプレシズム（における最高ウェイトベクトル）の具体的（組合せ論的）記述という問題を扱っている．これについて，(i) 執筆中だった論文を整えて投稿した．これは Communications in Mathematical Phyisics に受理された．(ii) (i) の論文で扱ったのとは別の簡単な場合に既約表現のプレシズムの最高ウェイトベクトルの具体的記述を行った(シンガポール国立大学の Lee Soo Teck 氏との共同研究)．論文としてまとめられる段階ではないので，より一般的な状況へと進めていきたい．
(2) 非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数の特殊値に関して，それに付随して定まるアペリ型数列について，特にそれを正規化して得られる有理数列の満たす新たな合同式をいくつか証明・予想した．この結果は日本数学会秋季総合分科会などで講演し，また執筆中だった論文にこの話題を追加して投稿した(九州大学・東京理科大学の若山正人氏との共同研究)．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
理由 研究テーマとする問題のそれぞれにおいて一定のまとまった結果に到達して，学会講演および論文投稿を行うことができ，またそのうちの１本は雑誌に受理されたため．
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の諸問題について引き続き研究を進める．有限グラフの無限族に対するアルファ行列式の極限挙動の計算例の拡充および一般的定理の模索，Howe 双対性に基づいた多項式環における具体的計算による最高ウェイトベクトルの記述をさらに一般的な状況で考えること，その手法を帯球関数の計算やAlon-Tarsi予想といった本課題の基本問題へと応用することを念頭に研究を進めたい．
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| Causes of Carryover |
年度末に参加予定だった学術会合（日本数学会年会など）が新型コロナウイルスの影響で中止されたため，そのためにとっておいた直接経費が余る形になった．次年度は，基本的には予定通りの予算配分で進めるが，繰越された研究費については12月に沖縄で行う予定の研究集会の会場費などに充てる予定である．
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