2021 Fiscal Year Research-status Report
表現論的構造のパラメタ変形がもたらす特殊関数・組合せ論の研究
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18K03248
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
木本 一史 琉球大学, 理学部, 教授 (10372806)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 表現論 / 組合せ論 / 整数論 / アルファ行列式 / 非可換調和振動子 / スペクトルゼータ関数 / 帯球関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題では表現論的構造のパラメタ変形に由来する問題を対象としている。本年度は、アルファ行列式（関連してリース行列式、帯球関数）と非可換調和振動子（特にスペクトルゼータ関数の特殊値とアペリ型数列）について以下のような研究を行った。
(1) リース行列式、対称群と長方形ヤング図形に対応する部分群の対に対する「帯球関数」、および関連する話題（有限グラフの無限族に対する正規化ラプラシアン行列のアルファ行列式やイマナントの振る舞い、ラテン方陣に関するAlon-Tarsi予想など）について研究を続けている。帯球関数の値をリース行列式（やアルファ行列式）として表す公式を基礎として、帯球関数の零点を記述することを目指しているが、具体的成果を得るには至っていない。
(2) 非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数の特殊値は「リーマンゼータ値＋（パラメタの特殊化で消える）有限和の剰余項」という形をしており、剰余項の「第一項」からアペリ型数列と呼んでいる数列の族が定まる。このアペリ型数列については、漸化式、母関数の持つモジュラー性に類する性質、アペリ型数列を正規化して得られる有理数列の満たす合同関係式などを調べてきたが、剰余項の「第二項」以降については手付かずであった。この高次の剰余項について分析を進めるための出発点として、最も簡単な場合の「第二項」の具体的計算が得られた。これまでの手法の単純な延長では制御が困難であるような感触であり、また一般的な状況は不明瞭だが、ここを基点に研究が進むことを期待している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非可換調和振動子のスペクトルゼータ値における剰余項の計算で、これまで手付かずだった計算へと進む手がかりが得られた。また、査読なしではあるが、リース行列式と帯球関数に関してまとめた論文が出版された。
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| Strategy for Future Research Activity |
対称群と長方形ヤング図形に対応する部分群の対に対する帯球関数およびその組合せ論への応用、非可換調和振動子のスペクトルゼータ値における高次の剰余項の解析、といった上述の諸問題について引き続き研究を進める。既存の手法の単なる拡張では制御が難しそうに見える高次剰余項について、その最も簡単な場合に「既存の手法の拡張の可能な限りの適用」を試みつつ、新たな計算法や（母関数の特徴付けなどによる）間接的なアプローチの構築を目指す。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大によって、予定していた研究集会等への参加の多くがキャンセルとなったため。残額は次年度に繰り越すこととしているが、基本的には令和3年度の予算配分に準じて進める。
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Research Products
(2 results)
