2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03249
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
上原 北斗 首都大学東京, 理学研究科, 准教授 (80378546)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 連接層の導来圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数曲面上のA型特異点の極小特異点解消の導来圏に現れるspherical 対象の分類をすることでその極小特異点解消の自己同値群の生成元を見付けることができた。これをD型、E型に拡張するため、昨年度に引き続きD_n型特異点の極小特異点解消の導来圏に現れるspherical 対象の分類を試みた。spherical 対象が曲線束（もしくは、もっと一般に連接層）のときは、ルート系の一般論を圏化することによって分類ができたが、一般の導来圏の対象に拡張しようとすると、様々な困難が生じ、未だ出来ていない。
また、どのような代数多様体の導来圏に"ファントム部分圏"が存在するのかという問題は導来圏の研究者たちの間で問題になっており、代数曲線の場合は、ファントム部分圏が存在しないことがわかっている。そこで私は代数曲面の場合で、最も簡単そうに見える2次元射影空間の導来圏にファントム部分圏が存在するかという問題を考えたが、部分的な解答しか得られず、予想していたより困難な問題であることが理解できた。
さらに、KuznetsovとShinderによるD-同値な代数多様体はL-同値となるという予想の反例の構成を考え、フロップという双有理写像で結ばれる2つの代数多様体の例外集合の次元が異なれば、上記予想の反例ができると思い立ち、そのようなフロップの構成を試んでいたが、結局例外集合の次元は一致し、この方法では予想の反例はできないことが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
代数曲面上のA型特異点の極小特異点解消の導来圏に現れるspherical 対象の分類に関しては膨大な計算をしてみたが、連接層と連接層の複体のギャップは大きく、分類には至っていない。
またKuznetsovとShinderによるD-同値な代数多様体はL-同値となるという予想の反例の構成に関しては、導来同値であることが知られている様々な代数多様体に関して、この予想の反例にならないか考えているが、未だうまくいっていない。
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| Strategy for Future Research Activity |
KuznetsovとShinderによる予想の反例の構成は、うまい代数多様体の例を見付ければ証明は容易かもしれないが、その発見はかなり直観的な感覚が必要であるように思える。そこで、導来同値な代数多様体の新たな例を構成するなど、それ自体意味があり、また直観を養うのに必要な問題を考えることも必要だと思われる。
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