2022 Fiscal Year Annual Research Report
Research of the autoequivalence groups of derived categories of algebraic varieties
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18K03249
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
上原 北斗 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (80378546)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 連接層の導来圏 / 代数多様体の分類理論 / 楕円曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
与えられた楕円曲線上の$P^1$-束と導来同値になる代数多様体はどのくらいあるのかを考えた。以前、私は同様の研究を複素数体上でおこなったので、それを任意標数の体上に拡張した。
具体的には、まず楕円曲線上の$P^1$-束がいつ楕円曲面の構造を持つかを決定し、さらにその特異ファイバー（実際は重複ファイバーのみになる）の様子を調べ、それをまとめた論文"Elliptic ruled surfaces over arbitrary characteristic fields"を執筆した。
Bridgelandの研究により、楕円曲線上の$P^1$-束が自分自身と同型でない多様体と導来同値になるのは、重複ファイバーを含む楕円ファイブレーションを持つ場合に限られるので、上記の結果を使って、楕円曲線上の$P^1$-束と導来同値になる代数多様体はどのくらいあるのかを調べた論文"Fourier--Mukai partners of elliptic ruled surfaces over arbitrary characteristic fields"を執筆している。考えるべき楕円曲線上の$P^1$-束は、楕円曲線と$P^1$の直積の商として得られることがわかるが、正標数の場合はnon-reducedな群スキームによる商も考えなければならず、この扱いが複素数体（もしくは標数$0$）の場合の扱いと大きく異なり困難な点である。
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