2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03251
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
加藤 希理子 大阪府立大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00347478)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 圏論 / 環論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
捩れ対とは、与えられた三角圏を2つの部分圏の貼り合わせとして表すことである。捩れ対は、特定の性質を抽出する部分圏への分解によって、三角圏のホモロジー代数的分析を容易にする。本研究では特に、捩れ対によって引き起こされる三角圏の対称性を調べている。捩れ対を構成する部分圏は、対になる部分圏の商圏と同値になることが知られている。捩れ対の中でも多重的なものをルコルマン、多重ルコルマンと呼び、多重ルコルマンの中でも回帰的なものを多角形ルコルマンと呼ぶ。これらは、単独の捩れ対よりも高い対称性を呈することが判っている。
本年度は、広義捩れ対についての研究を行った。捻れ対における射の消失条件を少し緩い条件に置き換えたものが広義捻れ対である。三角部分圏の対(U,V)が広義捻れ対になるための必要十分条件は、完全三角で貼り合わせた部分圏U*Vが三角部分圏になることである。このとき(U,V)は、共通部分によるU*Vの商圏における捩れ対と対応するため、広義捩れ対は、部分圏への分解の一つの手段といえる。
三角圏において、三角部分圏を頂点とするハッセ図を描く。(U,V) が広義捩れ対のとき、U∨V=U*Vなので、三角部分圏U,V, U*V, U∧Vを頂点とする四角形がハッセ図に現れる. これをstar squareと呼ぶ。以下を得た。
ハッセ図における四角形がstar squareであるための必要十分条件は、部分四角形がすべてstar sqaureであることである。
圏論的には例えば、exact squareについて同様の結果が古典的であり、上記の結果は、三角部分圏の形式的な扱いが有効であることを示している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
広義捩れ対は、２つの圏の間の射が消失しないために、挙動が捉えにくく、ここ数年思わしい結果が得られていなかった。上記の結果は、図式を用いた圏論的な議論を三角部分圏に適用して、包括的な理解ができる可能性を示唆している。
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| Strategy for Future Research Activity |
広義捩れ対の実用化を目指した研究を行う。
具体的には、以下を計画している。
広義捩れ対の多角化を行う。
与えられた三角部分圏Uを広義捩れ対の構成要素として、最大限実現するための方法を見つける。
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| Causes of Carryover |
研究協力者の旅費および謝金として支出予定であったが、他の財源がみつかったため、当該年度中は未使用であった。専門的知識を提供する研究協力者への謝金として翌年度に使用予定である。
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