捩れ対の多角化についての研究

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03251
• Research Institution: Osaka Metropolitan University
• Principal Investigator: 加藤 希理子 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (00347478)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 圏論 / 三角圏 / 安定圏 / 捩れ対

Outline of Annual Research Achievements

2023年度は、安定圏の角度から研究を行った。安定圏とは、アーベル圏の射影対象によるイデアル商圏である。多くの基本的な三角圏は、フロベニウス圏の安定圏として得られ、代数的三角圏と呼ばれる。フロベニウス圏Fの、射影加群圏Pを含む部分圏Eについて、F でイデアル商を取れば安定圏F_Eが得られ、代数的三角圏F_Pの部分圏となる。一方、代数的三角圏F_PにおいてEによるヴェルディエ商圏を作ることにより、三角圏F_P/Eを考えることもできる。安定圏F_Eと、三角圏F_P/Eの対象は同じである。また、いずれの圏においても、Eの対象は零対象となる。これら2つの圏を比較して、（1）射空間の違いを調べることによって、環論的な特徴づけをすること　（2）代数的三角圏F/Eの部分圏として実現される安定圏が、捩れ構造の構成要素となるかどうかを判断すること　を目標として研究を進めた。それぞれの圏の安定圏構造、三角圏構造に付随した操作（函手）を用いて射の性質を調べることを基本とした。
具体的には、ネーター環上の射影加群の複体のなす圏Fに対して、射影加群の茎複体のなす部分圏Eに照準をあてた。研究代表者は、過去に加群圏の安定圏を複体のホモトピー圏に部分圏として埋め込む研究を行っている。この部分圏を含むより大きな安定圏において、加群と同様の結果がなりたつかどうかを調べた。今までのところ、射の単射表現性についての拡張に成功している。また、この部分圏のホモとピー圏における直交性についても調べている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

三角圏の捩れ構造を調べるために、上部構造であるフロべニウス圏に戻って別の安定圏を考えることは、今まで試みていなかった方法である。研究代表者は、加群圏の安定圏についての研究業績があり、これらの自然な拡張として、複体の安定圏を考察するのは有望な試みである。更に、複体の三角圏における捩れ構造に関する知見を合わせて、多角的に問題に切り込む可能性が期待できる。

Strategy for Future Research Activity

2024年度も、安定圏とヴェルディエ商三角圏の比較を中心に研究を進める。概ね以下の方針で研究を進める。（1）双方の圏においてホモロジー代数的観点からの射の分析を行い、望ましい性質を抽出する。（2）環に付随する射について性質（1）を調べることによって、環の特徴づけを行う。（3）安定圏の捩れ構造について研究する。

Causes of Carryover

2020以前の計画が新型コロナウイルス感染症拡大防止のため、見直さざるを得なくなった。