2018 Fiscal Year Research-status Report
Research on arithmetic of number fields and coverings with non-commutative Galois groups
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18K03253
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
角皆 宏 上智大学, 理工学部, 教授 (20267412)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中筋 麻貴 上智大学, 理工学部, 准教授 (30609871)
五味 靖 上智大学, 理工学部, 准教授 (50276515)
梅垣 敦紀 愛知大学, 国際コミュニケーション学部, 准教授 (60329109)
都築 正男 上智大学, 理工学部, 教授 (80296946)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 整数論 / 代数学 / ガロア理論 / アルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に最も力を入れて取り組み成果が上がったのは、生成的多項式の代数的整数論への応用であり、具体的には、生成的な二面体型5次多項式を活用して、双二次不分岐拡大を持つ二面体型5次体の無限族を構成した。この5次多項式は以前から知られていて多くの研究があるが、ここでは2つの助変数のうちの片方を定数項が-1になるように特殊化した場合を考えた。もう一つの助変数を整数に特殊化すると根が単数になるが、この多項式ではその由来から来る顕著な特性として、これと乗法的に独立な単数も明示的に得られる。これに着目し、これらの単数の平方根を添加することによって二面体型5次体の不分岐双二次拡大が構成できないか考えた。実験的な計算により整数に特殊化した場合には2が分岐するため不分岐双二次拡大が得られないことが判明したが、さらに実験を進め、分母が2冪で分子が適切な合同条件を満たすときに不分岐双二次拡大が得られ、しかもこれにより無限族が得られることがわかった。類体論により、これから類数の可除性に関する結果が得られる。この二面体型5次多項式の他にも、巡回3次体や巡回5次体を与える多項式など、多くの研究がなされている多項式があるが、それらには見られない顕著な現象であった。
研究分担者を中心とする研究では、梅垣氏が類数に関する問題で進展を得た。所与の有限群をガロア群に持つ代数体で類数の大きなものの存在や構成を問う問題に対し、判別式に比べて類数と単数基準との積が充分大きくなるような双三次アーベル体の無限族を構成した。更に双巡回的なガロア群の場合にも一般化できることを示している。また、中筋氏は多重ゼータ関数・多重ゼータ値および多重ベルヌーイ数の一般化に取り組んだ。多重ゼータ値は幾何的には3点抜き射影直線の非可換被覆の周期として現れる重要な数であるが、これをシューア型と呼ばれるものに一般化し、その性質を探求した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
生成的多項式の代数的整数論への応用として得た「双二次不分岐拡大を持つ二面体型5次体の無限族の構成」は当初想定したよりも良い結果であり、既に口演での研究発表および論文の投稿に至っている。また、類似の多項式を用いた今後の研究の進展も大いに期待でき、実際、計算機による実験的な観察で興味深い現象が幾つか見つかっている。
研究分担者を中心とする研究では、多重ゼータ関数・多重ベルヌーイ数とその拡張に関しても既に研究発表および論文の掲載に至っている他、招待講演も行なっているなど注目度も高く、更に今後の進展が期待できる状態である。また、双三次代数体の類数問題に関する結果も、既に論文誌への掲載が決まっており（出版年未定）、さらに一般化も進んでいる。
この他の課題については余り進んでいないものもあるが、幾つかのものは準備が進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
二面体型5次体の数論に関しては、本研究で用いている二面体型5次多項式が非常に顕著な性質を持つことがわかってきたので、さらにこれを利用して、先行諸研究とも結びつけて、整数環・単数群が共に明示的に得られるような場合の探求を行ないたい。さらに、5次交代群型6次多項式での類似の現象の探求も模索しており、既に実験的な計算による観察を始めている。これらの探求では有限群の表現論や保型形式論との関係も予期されるので、各分野の研究分担者との連携を深めたい。研究分担者を中心とする課題もそれぞれ順調であるので、引続き進める。
また、ガロアの構成問題に関する勉強会が9月に開催され、それに参画することになっているので、本研究費を活用して運営面でも協力する。これらを通じて、学内の大学院生を研究補助者とするのみならず、学外の大学院生・若手研究者との共同研究も含めて、研究態勢を整備していきたい。
本研究費の旅費による研究会参加は、上記勉強会を含めて、国内で4回程度を予定している。その他の使途の予定は、上記勉強会の参加・運営費以外は、書籍代や計算機ソフトウェアおよび周辺機器など、通常のようなものである。
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| Causes of Carryover |
研究代表者分については、ノートパソコン購入において、大学関連業者を通じ割安の価格での購入機会があったので、当初想定の機種・スペックとは異なったが、機動性を重視して安価な機械２台を購入した。申請時からの値上がりも懸念していたが、その結果、ほぼ予定の金額で収めることが出来た。この分は次年度の計算機関係の物品購入に充てて、計算機環境を充実させることができる。
また、研究補助者の大学院生を伴う出張を想定していたが、スケジュール等の関係で適切な補助者が得られず、その分の旅費支出がなかった。次年度は、学内外の大学院生や学外の若手研究者を研究補助者として含めた研究態勢を整えるべく、研究分担者と共に調整・協力していく。
研究分担者分については、概ね現有資源および学内の基盤的研究費で進められたことと、各人の細かい残額であるので、次年度の物品購入などに活用する。
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Research Products
(7 results)
