2020 Fiscal Year Research-status Report
Research on arithmetic of number fields and coverings with non-commutative Galois groups
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18K03253
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
角皆 宏 上智大学, 理工学部, 教授 (20267412)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中筋 麻貴 上智大学, 理工学部, 准教授 (30609871)
五味 靖 上智大学, 理工学部, 准教授 (50276515)
梅垣 敦紀 愛知大学, 国際コミュニケーション学部, 准教授 (60329109)
都築 正男 上智大学, 理工学部, 教授 (80296946)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 整数論 / 代数学 / ガロア理論 / アルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に主に取り組んだテーマは、生成的多項式の代数的整数論への応用である。昨年度に取り組んだテーマの、5次交代群型の6次多項式を用いた2次不分岐拡大を持つ5次交代群型6次体の構成については、数値例の実験で得た無限族の存在を示唆する幾つかの顕著な現象について、引続きその理論的な裏付けに取り組んでいる。また新たに手がけたテーマとして、Shanksの3次巡回多項式やLehmerの5次巡回多項式では、素数導手の場合に、その根とGauss周期との間に密接な関係があることが知られているが、これを合成数導手の場合にも拡張することを構想し、まずShanksの3次巡回多項式について詳細な分析を進めている。これは2019年度に本研究の一部として運営に参画した第27回整数論サマースクールでの研究交流を契機として始めた研究テーマである。
研究分担者を中心とする研究では、梅垣氏が類数に関する問題で進展を得た。昨年度の成果である類数の大きな4次体の無限族の構成についての論文が出版に至った。また、中筋氏は昨年度までに引続き、多重ゼータ関数・多重ゼータ値および多重Bernoulli数の一般化に取り組み、Schur型多重ゼータ関数とルート系のゼータ関数との関係について解明し、その応用として多重ゼータ関数間の新しい関係式を得て、報告集原稿を発表し論文も受理に至った他、別の共同研究では、幾何学的表現論に現れるKloosterman和と古典的なKloosterman和に関する報告集原稿を発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度は感染症蔓延のため、一切の研究出張ができず、オンラインで開催された一部の研究集会への参加に留まったため、研究交流によるアイデアの創出が殆ど出来なかった。しかしながら昨年度までの交流を基盤としてオンラインでの意見交換も部分的ながら行ない得て、不十分ながら新たな研究の進展に繋げることも出来た。
生成的多項式の代数的整数論への応用として、二面体型5次体や5次交代群型6次体については、不分岐拡大や明示的な単数の構成に関して、計算機による実験的な観察を進めている。また、合成数導手の3次巡回拡大におけるShanksの3次巡回多項式の根とGauss周期との関係についても進展が期待できる。
研究分担者を中心とする研究では、多重ゼータ関数・多重ベルヌーイ数とその拡張に関しても既に研究発表および論文の掲載に至っており、更に今後の進展が期待できる状態である。また、大きな類数を持つ代数体の構成に関する結果も、4次体の場合の研究について論文が出版され、さらに一般化も進んでいる。
この他の課題については余り進んでいないものもあるが、幾つかのものは準備が進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
二面体型5次体や5次交代群型6次多項式の数論に関しては、引続き整数環・単数群が共に明示的に得られるような場合の探求を行ないたい。これらは、実験的な計算観察から進めて、無限族の構成に向けた理論的な研究を進めたい。これらの探求では有限群の表現論や保型形式論との関係も予期されるので、各分野の研究分担者との連携を深めたい。研究分担者を中心とする課題もそれぞれ順調であるので、引続き進める。これらを通じて、学内の大学院生を研究補助者とするのみならず、学外の大学院生・若手研究者との共同研究も含めて、研究態勢を整備していきたい。現今の感染症蔓延の状況下で、本研究費の旅費による研究会参加は見通しが立たない状況が続き、その分を物品購入による研究環境整備に充てる可能性が高い。その他の使途の予定は、書籍代や計算機ソフトウェアおよび周辺機器など、通常のようなものである。
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| Causes of Carryover |
研究代表者・分担者を通じて、感染症蔓延対策のため、今年度は研究出張が一切できず、旅費支出がなくなった。当初は年度後半の研究出張を想定していたが、状況の先行きが見えず、その他も現有の研究資産の活用を専らとして、殆どの額を次年度使用とすることになった。今年度も未だ見通しが立たないため、実質的に本年度から最終年度（2022年度）までの3年分を、今後の2年間で使うと考えて、物品購入などを増やして研究環境を整備させつつ、主に最終年度の研究発表旅費に充てるべく計画している。
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