2021 Fiscal Year Research-status Report
Research on arithmetic of number fields and coverings with non-commutative Galois groups
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18K03253
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
角皆 宏 上智大学, 理工学部, 教授 (20267412)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中筋 麻貴 上智大学, 理工学部, 教授 (30609871)
五味 靖 上智大学, 理工学部, 准教授 (50276515)
梅垣 敦紀 愛知大学, 国際コミュニケーション学部, 教授 (60329109)
都築 正男 上智大学, 理工学部, 教授 (80296946)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 整数論 / 代数学 / ガロア理論 / アルゴリズム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に主に取り組んだテーマは、生成的多項式の代数的整数論への応用である。Shanksの3次巡回多項式やLehmerの5次巡回多項式では、素数導手の場合に、その根とGauss周期との間に密接な関係があることが知られているが、これを合成数導手の場合にも拡張することを構想した。素数導手の3次Gauss周期にはGauss以来の従来研究が脈々とあり、Shanksの最簡3次巡回体の場合に互いの関連が詳しく調べられているが、これを一般の素数導手の場合に拡張するとともに、その合成により合成数導手の場合にもその関係を詳しく考察した。合成を考える際には、原始根の選択やShanks多項式のパラメタの値の選択にある自由度をきちんと決める必要があり、その点でやや新規性があると思われる結果も得たので、さらに従来研究との関連・相違を調査して発表すべく準備中である。
5次交代群型の6次多項式を用いた2次不分岐拡大を持つ5次交代群型6次体の構成については、数値例の実験による無限族の存在を示唆する幾つかの顕著な現象を見出していたが、引続き観察を続け、その理論的な裏付けに取り組んでいる。また、種数1のdessin d'enfantの計算についても、未整理な計算の見直しを進めて発表の準備を続けている。
研究分担者を中心とする研究では、中筋氏は昨年度までに引続き、多重ゼータ関数・多重ゼータ値および多重Bernoulli数の一般化に取り組み、Schur型多重ゼータ関数を中心に、Jacobi-Trudi型の関係式の一般化など、多重ゼータ関数間の新しい関係式について、論文出版や研究発表に至った。特に大学院生を研究補助者とした共同研究として、Schur型多重Polyベルヌーイ数についての考察が進んだ。都築氏はHecke-Maass形式の解析的考察で結果を得て論文を発表したが、本研究の主眼と結び付くには至っていない。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
今年度も昨年度に続いて感染症蔓延のため、多くの研究集会がオンライン実施、或いは対面参加が強く制限されたハイブリッド実施だったため、研究出張の機会が得られず、研究集会へのオンライン参加に留まった。そのため、研究交流によるアイデアの創出は困難であったが、昨年度までの交流を基盤としてオンラインでの意見交換も部分的ながら行ない得て、不十分ながら新たな研究の進展に繋げることも出来た。
生成的多項式の代数的整数論への応用として、合成数導手の3次巡回拡大におけるShanksの3次巡回多項式の根とGauss周期との関係について結果をまとめている。これはGalois群が可換な場合であり、本研究全体の主眼から見ると習作的な位置付けで、これを踏まえて非可換なGalois群に対応する生成的多項式でも同様な現象の観察・分析を行ないたい。また、5次交代群型6次体については、不分岐拡大や明示的な単数の構成に関して、計算機による実験的な観察を引続き進めている。
研究分担者を中心とする研究では、特に多重ゼータ関数・多重ベルヌーイ数とその拡張に関して、多くの研究発表および論文の掲載に至っており、更に今後の進展が期待できる状態である。特に一部の研究では大学院生を研究補助者とする共同研究の態勢作りが出来た。
この他の課題については余り進んでいないものもあるが、幾つかのものは準備が進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
合成数導手の3次巡回拡大におけるShanksの3次巡回多項式の根とGauss周期との関係について結果をまとめるとともに、Lehmerの5次巡回多項式の場合や、さらに本研究の主眼である非可換なGalois群を持つ生成的多項式の場合についても同様の現象が見出だせないか、考察を進めたい。二面体型5次体や5次交代群型6次多項式の数論に関しては、引続き整数環・単数群が共に明示的に得られるような場合の探求を行ないたい。これらは、実験的な計算観察から進めて、無限族の構成に向けた理論的な研究を進めたい。これらの探求では有限群の表現論や保型形式論との関係も予期されるので、各分野の研究分担者との連携を深めたい。研究分担者を中心とする課題もそれぞれ順調であるので、引続き進める。これらを通じて、学内の大学院生を研究補助者とするのみならず、学外の大学院生・若手研究者との共同研究も含めて、研究態勢を整備していきたい。現今の感染症蔓延の状況下で、本研究費の旅費による研究会参加は見通しが立たないが、年度後半以降は研究出張を行ない、研究発表・研究交流に役立てられることを想定している。ここ2年間の旅費を繰り越しているうちの一部は、物品購入による研究環境整備に充てる可能性が高い。その他の使途の予定は、書籍代や計算機ソフトウェアおよび周辺機器など、通常のようなものである。現在ある繰越額を有効に使って研究成果を得るため、研究期間の延長も念頭に置いて、計画的に研究費の支出を行ないたい。
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| Causes of Carryover |
研究代表者・分担者を通じて、感染症蔓延対策のため、今年度も引続き研究出張が一切できず、旅費支出がなくなった。当初は年度後半の研究出張を想定していたが、状況の先行きが見えず、その他も現有の研究資産の活用を専らとして、多くの額を次年度使用とすることになった。今年度も未だ見通しを立て難いが、物品購入などを増やして研究環境を整備させつつ、主に年度後半の研究発表旅費に充てるべく計画している。一方、現在ある次年度使用額を有効に使って研究成果を得るため、研究期間の延長も念頭に置いて、計画的に研究費の支出を行ないたい。
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