2019 Fiscal Year Research-status Report
Geometric approach to the theory of nonlinear functions
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18K03254
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
吉荒 聡 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (10230674)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ケーレーグラフ / 差分的一様関数 / 距離正則グラフ / グラフの固有値 / Walsh 係数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２０１９年度における研究成果は部分的なものにとどまった。差分複体の１次元モデルである「関数に付随する Cayley グラフ」が「距離正則」という強い仮定を満たすとき、前年度の考察において次の予想が得られた。「標数２の有限体上の任意の関数に対して、それに付随するCayleyグラフが距離正則であれば、その直径は４である。」２０１９年度は幾つかの技術的な条件（距離正則グラフのパラメータの言葉で記述できるものと関数に関する制限として記述できるものがある）の下ではこの予想は正しい、という形の結果を得た。更に差分的一様性を満たす関数の族と関数に付随する Cayley グラフの固有値（Walsh 係数）およびCayley グラフの連結性に関する関係についても多少の補足的結果を得た。しかし、これらの結果は非常に技術的な仮定の下で成立するので、ここで明確に述べるのは難しく、論文として発表できるほどまとまった形になっていない。
２０１９年度は当初の計画によると差分複体（Cayley グラフの高次元化)に関する一般論の展開を目指すはずであり、ある程度の考察を行ったが、困難に直面している。すなわち、差分複体を通じて関数のある程度の性質は導ける(たとえば差分的一様性に関する結果）が、今のところ、得られた性質はすべて差分複体の概念を経ずとも導ける初等的なもののみである。従って、差分複体という構想そのものの利点が未だに明確に出現していないのが現状である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
（１）差分複体の一般論構築が思ったように進展していない。今のところ得られた結果は差分複体の概念を用いずとも示せる初等的な性質しかない。
（２）差分複体の１次元のモデルであるCayleyグラフについても、２０１８年度までに幾つかの予想を得たが、その後、部分的進展はあるものの完全な解決を見ていない.
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）差分複体の一般論は標数２の有限体上の一般の関数を扱うものであるが、これを見直して、もう少し狭いクラスの関数に対象を絞り、今までに得られている一般論がこれらの関数についてどの程度強い結果をもたらすかを検討する。例えば quadraticな関数, APN関数, AB関数, plateaued 関数などのクラスを考えている。
（２）現在の差分複体における「微分」を、より巧妙なものに取り換えられるか検討する。特に上で挙げたクラスの関数に適合したものに特化できるか、考える。
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| Causes of Carryover |
研究代表者の個人的理由により、2019年度は研究集会への参加が一つもなく、研究集会の主催もなかったため、予算が消化できなかった。２０２０年度には、夏季と冬季に２回の小研究集会「有限幾何とその周辺」を行う予定である。
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