Geometric approach to the theory of nonlinear functions

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 18K03254
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 11010:Algebra-related
• Research Institution: Tokyo Woman's Christian University
• Principal Investigator: Yoshiara Satoshi 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (10230674)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 差分複体 / 非線形関数 / 導来関数 / 代数的次数 / ケーレーグラフ

Outline of Final Research Achievements

The main purpose of the research is to construct a general theory of non-linear functions over a finite field, in terms of ``differential complexes". However, I have not yet obtained any results showing the effectivity of this concept, but just a formal generalization of the known results, which can be proved without using differential complexes. The original aim to describe the concept of the algebraic degree of a non-linear function over a finite field using its derived functions is achieved only at an elementary level.

The only explicit new result is that if the Cayley graph associated with a non-linear function is distance-regular then we have strong restrictions on the algebraic structure of the function and the parameters of the graph.

Free Research Field

代数学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

有限体上の非線形関数は情報の暗号化に有効であり1990年代から世界的に多くの研究が蓄積されている. 本研究はこのような関数がどの程度存在するのかをその関数の導来関数から構成される差分複体の概念（実関数の微分関数とそのグラフの列の類似と見なせる）により分析しようという試みであったが、今のところ差分複体という概念の有効性を示す結果も、この方向からのアプローチをその証明に必要とする結果も得られていない。既知の結果の形式的拡張が得られるというレベルにとどまっている。新しい成果として挙げられるのは、１次元の複体であるケーレーグラフが強い正則性を持つような非線形関数は極めて限られるという事実である。