有限群のモジュラー表現におけるブロックの導来同値について

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03255
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 功刀 直子 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (50362306)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 有限群 / ブロック / 導来同値 / 森田同値

Outline of Annual Research Achievements

有限群のモジュラー表現論において，有限群のブロックの導来同値や森田同値での分類は重要な問題である。例えば，与えられた群の可換不足群をもつブロックとp-局所部分群のブロックの関係を述べたBroue予想や，与えられたp-部分群を不足群にもつブロックの森田同値類の個数の有限性を述べたDonovan 予想などがあげられる。この２つの予想と関連して，無限系列で現れるLie 型の有限群のブロックの森田同値性の問題がある。本研究では，シロー部分群が可換とは限らない場合に，p-局所構造を共有する２つの群について，主ブロック間の加群の圏や導来圏の同値を構成する手法を開発・整備し，とくに非可換メタ巡回群をシロー部分群にもつ群の主ブロック間の導来同値・森田同値分類に応用することを目的とし，今年度は以下の研究を行った。
１．前年度までにブラウアー樹木多元環における導来同値を与える両側傾複体の構成を行い，その研究成果が2018年12月に論文が掲載された。この両側傾複体の構成の際に用いたPerverse同値の概念を，より広い範囲で適用するための考察を行った。
２．有限群のブロックがBrauer樹木多元環になるのは，不足群が巡回群のときである。巡回シロー部分群をもつ有限群の自己同型による拡大が非可換メタ巡回シロー部分群を持つ場合に，その主ブロックとブラウアー対応子との間の導来同値の構成に上記１の内容を役立たせることができるのではないかと期待し，とくにこの設定となる無限系列の群に対する考察を行った。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

多元環の表現論における新しい手法などを仕入れるための勉強に時間がかかってしまったことと，台風や新型コロナウイルスによる影響のため，研究打ち合わせや外部の人をよんで行うセミナーを中止したため。

Strategy for Future Research Activity

非可換メタ巡回群をシロー部分群にもつ群における加群の構造をより詳しく調べる。とくに，シロー部分群が正規部分群となる場合の加群の構造をより詳しくしらべる。また，上記設定で正規でないシロー部分群をもつ場合の無限系列の群の主ブロックについて考察を進める。とくにスコット加群のBrauer直既約性や局所部分群の主ブロックの構造の考察を進める。国内外の専門家を直接招くことはできないが，オンラインでの環境を整えて，多くの人と研究打ち合わせをする機会をもつ。

Causes of Carryover

理由：研究打ち合わせやセミナーを中止したことと，研究が遅れ，成果発表を見あわせたため，次年度使用額が生じた。
使用計画：遠隔でセミナーができるような環境を整えたり，成果発表のために使用する。