有限群のモジュラー表現におけるブロックの導来同値について

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03255
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 功刀 直子 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (50362306)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 有限群 / ブロック / 導来同値 / 森田同値

Outline of Annual Research Achievements

有限群のモジュラー表現論において，有限群の導来同値や森田同値での分類は重要な問題である。例えば，与えられた群の可換不足群をもつブロックとp-局所部分群のブロックの関係を述べたBroue予想や，与えられたp-部分群を不足群にもつブロックの森田同値類の個数の有限性を述べたDonovan予想などがある。この2つの予想と関連して，無限系列で現れるLie型の有限群のブロックの森田同値性の問題がある。本研究では，シロー部分群が可換とは神楽内場合に，p-局所構造を共有する2つの群について，主ブロック間の加群の圏やその導来圏の同値を構成する手法を開発・整備し，とくに非可換メタ巡回群をシロー部分群にもつ群の主ブロック間の導来同値分類に応用することを目的とし，今年度は以下の研究を行った。
1．導来同値の構成のためには，傾複体を構成する必要がある。これに対し，Chuang-Rouquierによる傾複体の構成について，証明をわかりやすく整理した。
2. 導来同値の構成の際に必要となる森田型安定同値について，相対射影被覆の理論を利用できないか考察した。
3．主ブロック以外のブロックも安定同値構成の議論の対象にするために役に立つのではないかとの観点から，slash関手について具体例を計算した。
4. 巡回シロー部分群をもつ有限群の自己同型による拡大が非可換メタ巡回シロー部分群を持つ場合に，その主ブロックとブラウアー対応子との間の導来同値の構成を目指して，具体例の考察を行った。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

新型コロナウイルスの影響のため，対面での研究打ち合わせや研究集会等が中止になったり，さまざまな制限があったため。

Strategy for Future Research Activity

非可換メタ巡回群のシロー部分群にもつ群における加群の構造をより詳しく調べる。とくに，シロー部分群が正規部分群となる場合の加群の構造をより詳しく調べる。また，上記設定でシロー部分群をもつ場合の無限系列の群の主ブロックについて考察を進める。とくにスコット加群のBrauer直既約性や局所部分群の主ブロックの構造について，考察を進める。オンラインでの環境を整えて，多くの人と研究移合わせをする機会をもつ。

Causes of Carryover

理由：新型コロナウイルスの影響で，対面でお研究打ち合わせ，セミナー，研究集会等が中止になったため。
使用計画：オンラインでの環境を整えたり，成果発表のために使用する。