有限群のモジュラー表現におけるブロックの導来同値について

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03255
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 功刀 直子 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (50362306)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 有限群 / ブロック / 導来同値 / 森田型安定同値

Outline of Annual Research Achievements

有限群のモジュラー表現論において，有限群の導来同値や森田同値での分類は重要な問題である。例えば，与えられた群の可換不足群をもつブロックとp-局所部分群のブロックの関係を述べたBroue予想や，与えられたp-部分群を不足群にもつブロックの森田同値類の個数の有限性を述べたDonovan予想などがある。この2つの予想と関連して，無限系列で現れるLie型の有限群のブロックの森田同値性の問題がある。導来同値は森田型安定同値を導くことが知られ，森田型安定同値から導来同値を導く方法について研究することは重要である。本研究では，シロー部分群が可換とは限らない場合に，p-局所構造を共有する2つの群について，主ブロック間の加群の圏やその導来圏の同値を森田型安定同値から構成する手法を開発・整備し，とくに非可換メタ巡回群をシロー部分群にもつ群の主ブロック間の導来同値分類に応用することを目的としている。今年度はとくに，以下の研究を行った。

1. 巡回シロー部分群をもつ有限群の自己同型による拡大が非可換メタ巡回シロー部分群を持つ具体例について，2種類の安定同値を構成し，パーフェクト・アイソメトリーを用いて，導来同値へリフトする可能性を議論した。
２．上記1の具体例において，導来同値へリフトする可能性のある安定同値を，パーフェクト・アイソメトリーの構成と照らし合わせ，実際に導来同値へリフトした。
３．上記１，２の具体例については，これまでにも計算されているものであったが，より詳細に議論することで，一般論の構成を目指した。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

新型コロナウイルスの影響のため，対面での研究打ち合わせや研究集会が中止になるなど，さまざまな制約があったため。

Strategy for Future Research Activity

非可換メタ巡回群をシロー部分群にもつ群の主ブロックにおける加群の構造をより詳しく調べる。とくに，シロー部分群が正規部分群となる場合の主ブロックの加群の構造をより詳しく調べる。とくに，無限系列の群の主ブロックについての考察を進める。オンラインでの環境をさらに整えて，多くの人と研究打ち合わせをする機会をもつ。

Causes of Carryover

理由：新型コロナウイルスの影響で，対面での研究打ち合わせ，セミナー，研究集会等がなかったため。
使用計画：オンラインでの環境を整えたり，成果発表のために使用する。