2019 Fiscal Year Research-status Report
A study on perfectoid spaces and applications to commutative ring theory
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18K03257
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
下元 数馬 日本大学, 文理学部, 教授 (70588780)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 概純性定理 / Tate環と完備化 / Banach環 / Cohen-Macaulay代数 / Witt環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
パーフェクトイ空間の研究から派生した手法と問題について詳細に調べた。ホモロジカル予想、密着閉包の理論、代数多様体の特異点といった既存の問題に応用するに留まらず、理論の根幹を成す可換環的問題にも光を当て、応用力のある理論を構築することを目指した。仲里渓氏(名古屋大学)との共同研究によって、Tate環とBanach環との相互関係について詳しく調べた。特に概純性定理(the almost purity theorem)が完備性が無い状況でも成立するからくりについて十分な理解を得ることが出来た。これらの研究は将来的には重要になるであろう大域的な数論や可換環論を展開するうえで欠かせないと考えている。またAndreによるパーフェクトイドAbhyankar補題から完備化の条件を外すことにも成功した。このために概純性定理やTate環の基礎理論をきちんとやり直す必要があった。また応用として非常に際立った性質を持つ概Cohen-Macaulay代数を構成することが出来た。この結果はHochster-Hunekeらによる正標数における構成の混合標数での類似的結果とみなせる。これらの結果を2本の論文としてまとめ、アーカイブに投稿した。一本目の論文は既に専門誌に投稿済みであり、現在査読段階である。この研究成果はWest Virginia大学で開催された研究集会で発表した。これ以外の研究実績として、堀内淳氏(日本工業大学)と共に、弱正規性(weak normality)に対する局所Bertini定理をある条件下で混合標数の場合に示した。この内容についても研究集会で発表を行った後に結果を論文にまとめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
用語を統一したり細かい証明の修正以外にも、当初は思いもしなかった結果を考察するために、関係する論文の証明を解読しつつ定理を改良することに多少の時間を費やした。その結果、概ね満足いく結果を得ることが出来た。また研究内容が既存の研究テーマとの共通点が少なく論文の作成には細心の注意を払ったが、他の研究者からの意見を募るために論文をアーカイブに投稿した。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究から派生した重要な問題の一つにRiemannの拡張定理がある。これは古典的なrigid幾何学の枠組みではBartenwerferによって1970年代に得られていたものである。この結果をより現代的な視点から考察することが今後の研究課題である。この結果に対して新しい証明や拡張を試みることは、現在盛んに研究されている導来代数幾何的な視点をもたらすからである。今後は可換環論やリジッド幾何学の専門家から適宜、アドバイスを受けながら研究を続ける。
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| Causes of Carryover |
書籍代に充てる予定であったが出版が遅れており、その為に次年度に購入する事となった。
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Research Products
(5 results)
