2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K03259
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
藤井 俊 島根大学, 学術研究院教育学系, 准教授 (20386618)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 不分岐岩澤加群 / 尾崎予想 / 円分体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2020年度の研究では、以下に述べる結果を得ることができた。p を素数とする。Z_p を p 進整数環とする。有限次拡大 k/Q に対して、K/k を最大多重Z_p拡大とし、X を K 上の最大不分岐アーベル p 拡大のガロワ群とする。一般 Greenberg 予想、「X は疑零 Z_p[[Gal(K/k)]] 加群であろう」は、本研究課題の重要問題である。一般 Greenberg 予想に関して、次の結果を得た：
定理１．任意の素数 p に対して、X ≠ 0 かつ X が疑零となる虚アーベル体 k が無数に存在する。
一般 Greenberg 予想に対して、Minardi、伊藤、当該研究者らによって、CM体に対して理論的な結果が得られていたが、特に4次以上の虚アーベル体の具体例はあまり知られていなかった。定理１．によって、虚アーベル体の無限族が存在することが分かった。また、X ≠ 0 か否かを決定することは基本的に困難であると思われるが、非アーベル岩澤理論の手法を用いることにより、上で構成した虚アーベル体の無限族に対して X ≠ 0 であることを確かめることができた。
本研究課題の目的は、代数体 k の円分Z_p拡大上の最大不分岐p拡大のガロワ群 G の構造を理解することである。定理１．の系として次が得られる。
定理２．任意の素数 p に対して、G が非可換かつ自由 pro-p 群でない虚アーベル体 k が無数に存在する。
尾崎は、G が非可換自由pro-p群となることはないであろうと予想している。定理２，は尾崎の予想を支持する結果となり、当該研究者は重要な成果と考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題に大きく関係する一般 Greenberg 予想の具体例を構成することは重要問題であるが、2020年度の研究で各素数に対して無限族が存在することが分かった。また、その応用として、円分Z_p拡大上の最大不分岐p拡大のガロワ群が、非可換群かつ自由pro-p群でない虚アーベル体が無数に存在することも確かめられた。本研究課題の一つの目標である尾崎予想に対して、尾崎予想が成立する虚アーベル体の無限族の存在も確かめることができた。
2020年度には、昨年度までに行っていた研究に関する論文が2本出版された。また、2020大分整数論研究集会、東北大学談話会にて研究発表を行った。研究内容が進展し、昨年度以前の研究ではあるが研究成果が発表されたことにより、2020年度はおおむね順調であったと言えると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
2021年度では、継続して一般 Greenberg 予想、非アーベル岩澤理論の研究を行う予定である。また、2019年度より始めた円分体のイデアル類群、類数の研究も行う予定である。2020年度は、新型コロナウイルスの影響で、研究集会、学会がオンライン開催となってしまい、直接研究者たちと議論ができる機会が多く失われた。しかしながら、本年より世界各国でワクチン接種が開始され、本邦でも本年中に接種が可能であるとアナウンスされている。国内出張は行いやすくなすと考えられ、可能な限り研究集会参加、研究打ち合わせを行いたいと考えている。また、幅広い知識の収集のため、2021年度では、文献、書籍の購入のための予算をより多く計上する予定である。
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| Causes of Carryover |
本研究計画では、旅費に多くの予算を計上しており、周知のようにコロナ禍のため国内外を問わず出張が制限され、想定していた研究活動を行うことがほぼ不可能となった。本年より、世界各国でコロナウイルスのワクチン接種が開始され、本邦においても本年中に接種できる見通しが立ってきており、少なくとも国内の出張は、現在より行いやすくなるように思われる。可能な限り多くの研究者たちと交流の機会を持ち、議論を重ね、さらに深めてゆくことにより、当該研究者の研究は進展すると考えている。そのため、今年度は、研究集会、学会参加のため、研究打合せのための旅費を計上する予定である。
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