2019 Fiscal Year Research-status Report

分岐被覆、微分方程式およびモジュライ空間を通じた代数曲線束のジオグラフィーの研究

Research Project

Project/Area Number	18K03264
Research Institution	Tohoku Gakuin University
Principal Investigator	石田弘隆東北学院大学, 教養学部, 教授 (30435458)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	代数曲線束 / 代数曲面 / 分岐被覆 / モジュライ空間 / 複素微分方程式
Outline of Annual Research Achievements	代数曲線束の不変量の組を座標としたジオグラフィーの問題に関して，本研究課題では, (i) 代数曲線束の構造を変化させたとき，その相対的標準因子の自己交点数, 相対的オイラー・ポアンカレ標数およびファイバーの種数といった代数曲線束の不変量間の不等式関係を得ること, (ii) 代数曲線束を大量に構成する方法を模索し，その方法を用いて実際に代数曲線束がとる不変量の組が分布する領域を解明することを目的とする．昨年度は，スロープが24/5となる射影直線束の3重被覆で与えられる代数曲線束の存在領域について考察を行った．今年度は引き続いて，昨年度までには未解決であったスロープが24/5かつファイバーの種数が4となる射影直線束の3重被覆で与えられる代数曲線束の存在領域に関して解決することができた．ファイバーの種数が5の場合を解決することができなかったが，この問題に着手したときに種数の値が3を法として2に合同な場合に構成できる代数曲線束の相対的オイラー・ポアンカレ標数の値の下限はそれ以外の場合と比較して大きくなることを確認した．そこで，今年度は種数の値が3を法として2に合同な射影直線束の3重被覆で与えられる代数曲線束に注目して，その不変量間の不等式について考察も行った．その成果として，ファイバーの種数の値が3を法として2に合同である射影直線束の巡回3重被覆に関するスロープ不等式およびスロープ等式を与えることができ，これを研究集会およびその報告集にて発表している．代数曲線束とその複素微分方程式の基礎理論を発展を目指し，昨年度と同様に超楕円曲線束を与えるような具体例の構成に取り組んだ．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 昨年度から引き続いて，主な研究対象を射影直線束の巡回3重被覆で与えられる代数曲線束としているが，ファイバーの種数の値が3を法として2に合同な場合とそうではない場合にはスロープの下限が異なることを示すことができた．この研究対象を含むより広い対象としてクリフォード指数が１の代数曲線束がある．クリフォード指数が１の代数曲線束に対しても，スロープ不等式が証明されているものの，そのスロープの下限を実現する代数曲線束はファイバーの種数の値が3を法として2に合同な場合には構成できていない．このことから，射影直線束の巡回3重被覆で与えられる代数曲線束と同様にファイバーの種数の値が2に合同な場合とそうではない場合にはスロープの下限が異なることが予想される．次年度は，今回の成果を元にクリフォード指数が１の代数曲線束に対しても同様の主張が成り立つかを考察する予定である．その方策としても３重被覆のガロア閉包を用いて行うことを考えている．以上のように今年度の成果によって，クリフォード指数が１の代数曲線束のスロープの下限に関する問題に向けて進展したと考える．そのため，今年度の研究の進捗状況を上のように評価した．
Strategy for Future Research Activity	今後もこれまでの研究方針を踏襲して代数曲線束のジオグラフィーの問題に取り組む. 進捗状況でも触れたが，次年度は以下のように研究を進めていく. まず，今年度得た射影直線束の巡回3重被覆で与えられる代数曲線束に関するスロープ不等式を，一般の代数曲線束の巡回3重被覆で与えられる代数曲線束に関するスロープ不等式に拡張することから始める．これに関しては不等式を評価する方法が類似していることから，いくつかの障害はあるが現状の知見で解決できると考えている．次に，「巡回3重被覆」を「3重被覆」に変更して，一般の射影直線束の3重被覆で与えられる代数曲線束に関するスロープ不等式について考察する．ここでは，3重被覆のガロア閉包は3次対称群被覆となり，それは2重被覆と巡回3重被覆の合成であるので，2重被覆は先行研究でスロープ不等式・等式がすでに証明されており，上で計画した研究が進展することにより達成できると考えている．二つ目の課題として, 代数曲線束と複素微分方程式に関する基礎理論を元に具体的な構成方法の確立を目指す．昨年度から続いて代表者が十分な知見をもつ超楕円曲線束に関して，計算が比較的易しい底空間の種数が小さい場合を考察し，スロープ不等式やスロープ等式などの既存の研究成果と比較しながら取り組む．
Causes of Carryover	COVID-19の世界的な拡大の影響で，予定していた研究集会への出張が中止となったため次年度使用額が生じた．今年度開催予定の研究集会については会議システムを利用した開催になると予想されるので，そのための機材購入にあてる．