分岐被覆、微分方程式およびモジュライ空間を通じた代数曲線束のジオグラフィーの研究

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03264
• Research Institution: Tohoku Gakuin University
• Principal Investigator: 石田 弘隆 東北学院大学, 教養学部, 教授 (30435458)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 代数曲線束 / 代数曲面 / 分岐被覆 / モジュライ空間 / 複素微分方程式

Outline of Annual Research Achievements

代数曲線束の不変量を座標としたジオグラフィーの問題に関して，本研究課題では, (i)代数曲線束やそのファイバーに対して条件を課し，その条件を満たす代数曲線束の相対的標準因子の自己交点数，相対標準束の次数（相対的オイラー・ポアンカレ標数）およびファイバーの種数などの不変量の間の不等式関係を得ること，(ii) 代数曲線束の不変量を組を座標空間に点としてプロットするとき，実在する代数曲線束に対応する点が(i)で得た不等式を満たす領域をどの程度埋めつくすかを，代数曲線束を大量に構成する方法を開発して具体的に代数曲線束を与えることによって究明する，ことを目的とする．
本研究課題の前年度までに行った研究により，射影直線束のガロア3重被覆や一部の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束に関して，代数曲線束の相対標準因子の自己交点数と相対的オイラー・ポアンカレ標数の比であるスロープの下限が存在すること，スロープを固定したときに相対的オイラー・ポアンカレ標数に下限があることを明らかにし，加えて，この下限がファイバーの種数の値が3を法として2に合同である場合とそうではない場合に異なることを確認できている．
今年度は，昨年度に得た射影直線束の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束のスロープの値を固定したときの相対的オイラー・ポアンカレ標数の下限を与えるような代数曲線束の構成を試みた．
下限を与える代数曲線束の構成はできなかったが，具体的に条件に合致する射影直線束上の非ガロア3重被覆の構造をもつ代数曲線束を多数構成して，それらのファイバーの種数と相対的オイラー・ポアンカレ標数を座標とする点を座標平面上にプロットしたときに，座標平面上を埋める範囲を確認することができた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

射影直線束の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束のスロープの値を固定したときの相対的オイラー・ポアンカレ標数の下限を与えるような代数曲線束の構成を試みたものの，下限を与える代数曲線束の構成は，ファイバーの種数が3を法として2の場合でも，そうでない場合でも与えることができなかった．
この点から今年度の研究の進捗状況を上のように評価した．
しかし，研究実績の概要でも述べたように，具体的に射影直線の非ガロア3重被覆を与えて代数曲線束を構成し，それらが実現するファイバーの種数と相対的オイラー・ポアンカレ標数の値の組をプロットすると座標平面上を広範囲に埋めることが確認できた点は，着実に射影直線束の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束のジオグラフィーの研究に進展があったと考える．

Strategy for Future Research Activity

次年度においても引き続き，研究実績の概要に述べた研究方針(ii)に従って，代数曲線束のジオグラフィーの問題に取り組む. 特に，今年度に達成することができなかった，スロープの値を固定した射影直線束の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束に関して，そのような代数曲線束の相対的オイラー・ポアンカレ標数の下限を実現する代数曲線束を実際に構成することを主に考察する．
加えて，射影直線束の非ガロア3重被覆の構成方法を新たに開発して，さらに射影直線束の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束のジオグラフィーについて明らかにする．

Causes of Carryover

COVID19の世界的流行により，対面で実施することを予定していた研究集会の旅費が生じなかったことにより次年度使用額が生じた．次年度の研究集会参加のための旅費に充てる予定である．