Study of the geography of fibrations through branched coverings, differencial equations and moduli spaces

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03264
• Research Institution: Tohoku Gakuin University
• Principal Investigator: 石田 弘隆 東北学院大学, 情報学部, 教授 (30435458)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 代数曲線束 / 代数曲面 / 分岐被覆 / モジュライ空間 / 複素微分方程式

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題では, 代数曲線束の不変量の組を座標としたジオグラフィーの問題に関わる次の2つの問題に取り組んでいる．
(i) 代数曲線束やファイバーに対して分岐被覆の構造などの条件を課したとき，その構造に応じて，代数曲線束の相対標準因子の自己交点数, 相対標準束の次数である相対的オイラー・ポアンカレ標数およびファイバーの種数といった代数曲線束の不変量間に成り立つ不等式関係を究明する，(ii) （i）で得た不等式関係によって，不変量たちが取る値を組にして座標平面や空間上に点としてプロットすると，代数曲線束が存在可能な領域を得る．この領域内を，実在する代数曲線束に対応する点どの程度埋めつくして分布するかを確かめるため，同じ構造をもつが互いに不変量の異なる代数曲線束を大量かつ効率的に構成する方法を開発する．
これまでに本研究課題で行ってきた研究成果から，射影直線束のガロア3重被覆および，ある条件を満たす非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束の相対標準因子の自己交点数と相対的オイラー・ポアンカレ標数の比であるスロープには下限が存在し，スロープの値に固定したときに，その値に応じて相対的オイラー・ポアンカレ標数には種数から決定できる下限があることが分かっている，さらに，この下限がファイバーの種数の値が3を法として2に合同である場合とそうではない場合で異なることも示した．
今年度も研究方針（ii）に従って，スロープが一定の値で，射影直線束の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束のうち，研究方針（i）で得た成果である相対的オイラー・ポアンカレ標数の下限を実現するものを実際に構成することを考察した．
下限を実現することは達成することはできなかったが，昨年度得た成果よりも広範に座標平面上を埋める領域に上の条件を満たす代数曲線束の不変量の組が分布することを明らかにした．

Remarks

第8回 代数幾何学研究集会-宇部-
http://www2.ube-k.ac.jp/kmiura/ube2024.pdf