2021 Fiscal Year Research-status Report
Geometric analysis for unitary transition operators
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18K03267
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
楯 辰哉 東北大学, 理学研究科, 教授 (00317299)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子ウォーク / 一般固有関数展開 / 一般フーリエ展開 / 転送行列 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はカテノイド上の磁場付きラプラシアンのスペクトル特性と，ユニタリ推移作用素としての量子ウォークの研究を行ってきた。磁場付きラプラシアンのスペクトル特性については調書には書いていないが，スネーク状態という一様でない磁場をかけた際に発生する特殊な状態について調べるために，より卑近な例で調査した。結果は得られたものの論文になるほどのものではなかったが，これを量子ウォークを用いて調べるための一つの重要なステップとなった。また，量子ウォーク有限グラフのアーベル被覆である結晶格子上のユニタリ推移作用素の定式化と基本的なスペクトル構造は研究機関前半に確立した。そこで当初予定していた、半古典解析的な状況の解析、並びに特異連続スペクトルを持つ場合の解析の解析を行うべく、今年度は再び１次元の場合に戻り、コイン行列にほとんど何も仮定しない設定で、定性的に何が言えるかということから考察を行なった。量子ウォークは差分作用素であるが、量子ウォークに対する１次元微分作用素に対する散乱理論的な研究が近年盛んである。これは、定数コイン（つまり並進対称性のある場合）のトレース族による摂動という状況設定のもとで強力な手法であるが、上記のような特異連続スペクトルを持つ場合はこの状況設定には現れない。そこで、今年度はほぼ仮定をおかない一般的な設定のもとで、1次元微分作用素に対する解析で知られている、一般固有関数展開定理の類似物を構成することができた。これ自身は実はCMV行列の文脈ですでに先行研究があったのだが、量子ウォークに限定して新しい証明をつけ、さらに深く解析することにより、グリーン関数の諸性質を導くことができた。またこれを用いて、二層系と呼ばれる状況において、スペクトル測度を決定することが可能となった。結果は論文にまとめてアーカイブに投稿した。現在学術雑誌に投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究課題前半で、結晶格子上の周期的ユニタリ推移作用素の基礎的なスペクトル解析に関する結果は学術誌上に出版することができた。しかし半古典解析的な結果などの、むしろ１次元の量子ウォークに対する望みたい結果が全く得られていなかった状況であった。原因の一つに、期待している結果が、膨大な計算の元に得られうるものであると想定されるが、なかなかその計算がはかどらないこと、そしてそもそも半古典極限が非常に難しい問題であると再認識し始めたという原因がある。新たな問題点は、積分量の処理の段階で、相関数の１回微分の項が（通常の停留位相法では消えるのだが）残ってしまって、手が出せない状況のためである。これについては設定そのものをもう一度見直す必要が生じていて時間がかかる。そのため、今年度は別の角度の研究に着手し、一定の成果を得ることができた。今年度得られた結果は、一般の１次元量子ウォークの分類問題への第一歩であり、重要な結論が得られたものと自負している。研究進度はやや遅れているものの、明るい兆しが見えてき始めた年度であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
１次元量子ウォークの多角的な研究、そしてそれに類似の結果の正則樹木上への拡張に専念したい。具体的には次のような研究である。まず今年度得られた１次元量子ウォークの一般固有関数展開定理は、もともと１次元シュレディンガー作用素（Sturm-Liouville作用素）に対する同様の定理の類似物であった。Sturm-Liouville作用素の理論では、例えば一般固有関数を用いてポテンシャルを表示する公式など、いわゆる逆問題的についての理論も豊富に備わっている。一方量子ウォークにおいては、コイン行列の特性と、スペクトル論的あるいは長時間挙動がどのように関係しているか、という問題が最大の興味である。例えばスペクトルの状況を指定した際に、対応するコイン行列の特性を導き出せるようであれば大変興味深いのだが、そうした逆問題のいわば土台に相当する部分を今年度構築できたと考えている。今後はその公式をさらに進化・深化させ逆問題へアプローチしたい。また、この一般固有関数展開は、等質空間上の無限遠境界値のポアッソン積分を想起させるが、この離散的な設定においては、正則樹木上の量子ウォークの固有関数展開がそれに相当するであろうと考えられる。このような定理の確立にアプローチしていきたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染対策上，ほぼ全ての学会・研究集会がオンラインとなり，また出張制限等もあり，なかなか出張ができない状況のため，次年度使用額が生じた。次年度は出張旅費として使用することと，論文出版が決定した際にはオープンアクセスのために研究費を使用したい。
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