2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03268
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
田崎 博之 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30179684)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 対称空間 / 対蹠集合 / 実形の交叉 / 複素旗多様体 / 有向実Grassmann多様体 / 対称三対 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
コンパクト対称空間内の対蹠集合の解明に関する研究目的Iについては、ほぼすべての古典型コンパクト対称空間およびその商空間の極大対蹠集合を求め、その中から大対蹠集合を決定し、2-numberも求めた。先行する研究ですでに得ていた古典型コンパクトLie群およびその商群の極大対蹠部分群の分類結果を利用して、分類結果を行列を使って具体的に記述できた。これらの結果はChen-Naganoの2-numberを求めた手法をより詳しくしたことになっており、田中真紀子氏との共著論文として原稿を執筆中である。G型コンパクト対称空間についても同様な成果を挙げることができた。この成果については田中真紀子氏、保倉理美氏との共著論文として原稿を執筆中である。
複素旗多様体に拡張された対蹠集合の概念をより普遍的な形で再定式化し、複素旗多様体内の二つの実形の交叉の対蹠性を解明するという研究目的IIについては、コンパクト型Hermite対称空間をコンパクトLie群の随伴軌道という観点から複素旗多様体に拡張して、そこでの二つの実形の交叉にこれまでの研究成果を拡張できた。その結果、複素旗多様体内の合同とは限らない二つの実形の交叉に関するFloerホモロジーを具体的に求めることができた。この議論において対称三対を使った議論が有効だった。この成果をまとめた井川治氏、入江博氏、奥田隆幸氏、酒井高司氏との共著論文を執筆中であり、その原稿はほぼ完成した状況である。
有向実Grassmann多様体の極大対蹠集合を解明するという研究目的IIIについては、横糸と縦糸という考え方を導入すると今までに分類または構成した極大対蹠集合の系列を体系的に記述できることがわかってきた。さらにこの横糸と縦糸はある全測地的部分多様体に起因することが
明らかになり、極大対蹠集合と全測地的部分多様体の関連性について検討中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的Iについては、成果を二編の論文にまとめているところであり、目的にしていた事項が部分的には得られた。研究目的IIについても、成果を論文にまとめているところであり、目的にしていた成果がおおむね得られた。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究目的Iに関しては、まだ完成していない古典型コンパクト対称空間の極大対蹠集合の分類について、極大対蹠集合の分類を完成させ、その中から大対蹠集合を決定し2-numberも求める。今までと同様な手法が有効ではない場合は、対合による半直積に極地としてコンパクト対称空間を埋め込み、今までの手法を利用できるようにする。
研究目的IIに関しては、複素旗多様体内の二つの実形を定める対合が可換な場合には対称三対を利用して二つの実形の交叉を詳しく調べることができた。この二つの対合が可換でない場合には、対称三対を利用することができないが、類似のルート空間分解を大野晋司氏が得ているので、それを利用して可換ではない二つの対合が定める実形の交叉を詳しく調べることが可能になると思われる。この方向に研究を進めたい。
研究目的IIIに関しては、横糸と縦糸の起因する全測地的部分多様体を体系的に調べ、極大対蹠集合との関連性を明らかにしたい。横糸は複素Grassmann多様体に起因し、縦糸は特殊Lagrange-Grassmann多様体に起因していると思われ、これらを組み合わせることによって多くの全即血的部分多様体および極大対蹠集合が得られると思われる。すでに得たG型コンパクト対称空間の極大対蹠集合の記述は、7次元内の3次元有向部分空間の成す有向実Grassmann多様体の極大対蹠集合にしている。これは横糸と縦糸の起因する全測地的部分多様体の特別な場合になっているように思われる。これらの現象を明らかにし、さらに背後にあると思われるより一般的な原理を解明したい。
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| Causes of Carryover |
予定していた謝金を支出する必要がなくなったため。
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