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2019 Fiscal Year Research-status Report

対称空間の対蹠集合の解明、拡張および応用

Research Project

Project/Area Number 18K03268
Research InstitutionUniversity of Tsukuba

Principal Investigator

田崎 博之  筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30179684)

Project Period (FY) 2018-04-01 – 2021-03-31
Keywords対称空間 / 対蹠集合 / 実形の交叉 / 複素旗多様体 / 有向実Grassmann多様体
Outline of Annual Research Achievements

コンパクト対称空間内の対蹠集合の解明に関する研究目的Iについては、古典型コンパクト対称空間およびその商空間の極大対蹠集合の分類を行列を使って具体的に記述した成果をまとめた田中真紀子氏との共著論文の原稿を昨年度から執筆していたが、今年度この論文原稿を完成させ学術雑誌に投稿した。この成果は古典型コンパクトLie群およびその商群の極大対蹠部分群の分類に基づいている。今までは主に連結なコンパクトLie群を扱っていたが、非連結コンパクトLie群の極大対蹠部分群の分類が重要になる場合もあり、これらの分類を進めるために非連結コンパクトLie群の極地の研究を始めた。現時点ではこの研究はまだ完成していない。2020年度にも引き続きこの研究を進める予定である。G型コンパクト対称空間の具体的実現を利用したその極大対蹠集合の分類をまとめた田中真紀子氏、保倉理美氏との共著論文の原稿を昨年度から執筆していたが、今年度この論文原稿を完成させ学術雑誌に投稿した。この研究の続きとしてF型コンパクト対称空間の具体的実現を利用したその極大対蹠集合の分類について現在検討中である。
複素旗多様体に拡張された対蹠集合の概念をより普遍的な形で再定式化し、複素旗多様体内の二つの実形の交叉の対蹠性を解明するという研究目的IIについては、研究成果をおおむね井川治氏、入江博氏、奥田隆幸氏、酒井高司氏との共著論文にまとめたが、まだ若干の問題が残っておりそれらを含めて論文の原稿を執筆中である。
有向実Grassmann多様体の極大対蹠集合を解明するという研究目的IIIについては、昨年度検討を始めた極大対蹠集合と全測地的部分多様体の関連性について検討中である。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究目的Iについては、成果を二編の論文にまとめ学術雑誌に投稿中である。目的にしていた事項が部分的には得られ、それに続く研究を現在進めている。
研究目的IIについても、成果を論文にまとめているところであり、目的にしていた成果がおおむね得られた。

Strategy for Future Research Activity

研究目的Iに関しては、連結コンパクトLie群には極地として埋め込めないコンパクト対称空間を対合による半直積として記述できる非連結コンパクトLie群に極地として埋め込む方法を利用する。そのためには、連結コンパクトLie群の対合による半直積の極地の構造を調べることが重要になる。連結コンパクトLie群の極地については、極地の概念を定義したChen-長野により詳しく調べられているが、非連結コンパクトLie群の極地についてはほとんど研究成果がない。非連結コンパクトLie群の極大トーラスにあたるもの、およびその共役性についてはHermann作用を利用して示すことができる。これにより、非連結コンパクトLie群の極地、極地として埋め込まれたコンパクト対称空間の極大対蹠集合を調べることができる。
研究目的IIに関しては、複素旗多様体内の二つの実形を定める対合が可換な場合にはおおむね研究は完了している。この二つの対合が可換でない場合には、大野晋司氏の関連した研究成果を利用して可換ではない二つの対合が定める実形の交叉の研究を進める。
研究目的IIIに関しては、有向実Grassmann多様体内の複素Grassmann多様体に起因する横糸、特殊Lagrange-Grassmann多様体に起因する縦糸が佐々木優氏の研究している対蹠集合の連結性と等質性と深く関係していると思われる。そこで、これら横糸と縦糸を連結性と等質性の観点から研究を進める。

Causes of Carryover

新型コロナウイルス感染症拡大の影響で、2月3月に予定していた研究集会出席や研究打合せのための出張をほぼすべて取り消したため。
次年度に新型コロナウイルス感染症が終息すれば、研究集会を開催して研究情報の交換を行いたい。終息しない場合は、ネットワークを利用した研究情報の交換を行うための仕組みを構築したい。

  • Research Products

    (16 results)

All 2020 2019 Other

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (14 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Invited: 12 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] On the structure of the intersection of real flag manifolds in a complex flag manifold2019

    • Author(s)
      H. Iriyeh, T. Sakai and H. Tasaki
    • Journal Title

      Advanced Studies in Pure Mathematics

      Volume: 82 Pages: 87-98

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Maximal antipodal sets related to G_22020

    • Author(s)
      田中真紀子
    • Organizer
      AMS Special Session on Differential Geometry and Global Analysis, Honoring the Memory of Tadashi Nagano (1930-2017)
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 例外型コンパクトLie群G_2の幾何2019

    • Author(s)
      田崎博之
    • Organizer
      筑波大学微分幾何学セミナー
  • [Presentation] The intersection of two real forms in a Kahler C-space2019

    • Author(s)
      酒井高司
    • Organizer
      Oberseminar Differentialgeometrie
    • Invited
  • [Presentation] グラスマン多様体とその商空間の極大対蹠集合2019

    • Author(s)
      田中真紀子
    • Organizer
      第2回 水戸幾何小研究集会
    • Invited
  • [Presentation] Maximal antipodal sets of G_2 and G_2/SO(4) and related geometry2019

    • Author(s)
      田中真紀子
    • Organizer
      The 22nd International Workshop on Differential Geometry of Submanifolds in Symmetric Spaces & Related Problems
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 例外型コンパクトLie群G_2の幾何2019

    • Author(s)
      田崎博之
    • Organizer
      Workshop on Submanifold theory in a wider sense
    • Invited
  • [Presentation] Maximal antipodal sets of classical compact symmetric spaces2019

    • Author(s)
      田中真紀子
    • Organizer
      DGA2019
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 例外型コンパクト対称空間G_2/SO(4)の幾何2019

    • Author(s)
      田崎博之
    • Organizer
      日本数学会2019年度秋季総合分科会
  • [Presentation] The intersection of two real forms in a Kahler C-space2019

    • Author(s)
      酒井高司
    • Organizer
      Seminaire de Mathematiques et Colloquium
    • Invited
  • [Presentation] Maximal antipodal sets of classical compact symmetric spaces2019

    • Author(s)
      田中真紀子
    • Organizer
      The 2nd Taiwan-Japan Joint Conference on Differential Geometry
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 古典型コンパクト対称空間の極大対蹠集合2019

    • Author(s)
      田中真紀子
    • Organizer
      筑波大学微分幾何学セミナー
    • Invited
  • [Presentation] 八元数、G_2、対蹠集合、およびFano平面2019

    • Author(s)
      田崎博之
    • Organizer
      部分多様体論・湯沢2019
    • Invited
  • [Presentation] Polars and antipodal sets2019

    • Author(s)
      田崎博之
    • Organizer
      研究集会「カンドルと対称空間」
    • Invited
  • [Presentation] コンパクトLie群とコンパクト対称空間の極大対蹠集合2019

    • Author(s)
      田崎博之
    • Organizer
      部分多様体幾何とリー群作用2019
    • Invited
  • [Remarks] 田崎博之のホームページ

    • URL

      http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/

URL: 

Published: 2021-01-27  

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