2021 Fiscal Year Research-status Report
Volume minimization principle and obstructions to geometric problems
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18K03270
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
二木 昭人 東京大学, 大学院数理科学研究科, 名誉教授 (90143247)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 体積最小原理 / アインシュタイン・マックスウェル・ケーラー計量 / ケーラー・リッチソリトン / 佐々木・アインシュタイン計量 / K安定性 / スカラー曲率一定ケーラー計量 / ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
アインシュタイン・マックスウェル方程式は4次元一般相対性理論において研究されていたが，コンパクトケーラー曲面 (M,g) において，正値の滑らかな関数 f が J grad f は正則キリングベクトル場であり， h = f^{-2}g はスカラー曲率一定計量であるなら， h はアインシタイン・マクウスウェル方程式の解に対応することが示される．このような解 h を共形的ケーラー，アインシュタイン・マックスウェル計量という．前年度までのアインシュタイン・マックスウェル・ケーラー計量の研究と同時に，関連分野である coupled ケーラー・アインシュタイン計量，その佐々木版，および変形量子化における閉じた Fedosov star product の存在について研究した．coupled ケーラー・アインシュタイン計量の佐々木版にあたる横断的 coupled ケーラー・アインシュタイン計量をvolume minimization を用いて構成することを主要な目標とした．その準備として，障害のきちんとした定式化，residue formula を用いた障害の計算方法などについて結果を得て，出版した．一方，従来の volume minimization を用いて得られる irregular 佐々木アインシュタイン計量を基にして，toric Fano 多様体の標準直線束に完備 Ricci 平坦（Calabi-Yau) 計量を構成した．アインシュタイン・マックスウェル・ケーラー計量の構成においては Apostolov-Calderbank によるReeb ベクトル場の変形の取り扱いの有効性に着目し，他の種々の問題への応用を考察した．更に新し縮小ケーラー Ricci ソリトンも構成した．もう一つのの関連分野である閉じた Fedosov star product の存在の障害もシンプレクティック類にのみ依存する不変量として定式化した．特にケーラー多様体の場合は，従来の結果がどの位置に置かれるかを検証した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Coupled ケーラー（および佐々木）・アインシュタイン計量の障害，その計算方法を与える residue formula を定式化し出版した．トーリック佐々木多様体の体積最小性原理の適用方法を再検討し，Eguchi-Hanson 型の新しい Ricci 平坦ケーラー計量を得て出版した．変形量子化における閉じたスター積が存在するための障害を定式化し出版した．
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| Strategy for Future Research Activity |
佐々木多様体における横断的 coupled ケーラー・アインシュタイン計量を volume minimization を用いて構成する方法を考察したい．関連するケーラー幾何の種々の問題でも volume minimization の有効性について調べたい．この他，複素 Monge-Ampere 方程式の解の存在について，任意のコンパクトケーラー多様体で考察したい．
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| Causes of Carryover |
Covid 19 の為，出張計画，招聘計画はすべてキャンセルとなった．疫病が終息し次第，出張計画，招聘計画を整えたい．
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