2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03271
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
塚田 和美 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (30163760)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
江尻 典雄 名城大学, 理工学部, 教授 (80145656)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 四元数多様体 / 全複素部分多様体 / 横断的複素部分多様体 / 結合的グラスマン多様体 / 6次元球面 / 八元数 / ラグランジュ部分多様体 / 調和写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関して、今年度は、八元数に依拠して定義される8次元四元数ケーラー対称空間である結合的グラスマン多様体の部分多様体に焦点を絞り研究を進め、次のような成果を得た。
(1)4次元ベクトル空間内の向きつけられた2次元部分空間のなすグラスマン多様体（4次元）から、結合的グラスマン多様体への埋込を構成し、それが横断的複素埋込になること、さらに特別な4 次元ベクトル空間の場合には全複素かつ全測地的埋込になることを示した。これらは、興味深い複素部分多様体の例となっており、幾何学的特質及び特徴付け等を課題として今後の研究の発展も期待できる。これらの結果は、日本数学会 2018年度秋季学会で発表した。また、論文としてまとめ、微分幾何学の興味深い研究成果が多く発表されているTsukuba Journal of Mathematics に掲載予定である。
(2)6次元球面には八元数に依拠して、概エルミート構造が自然に定まる。この概エルミート構造に関する6次元球面のラグランジュ部分多様体と結合的グラスマン多様体への写像との興味深い関係を調べた。具体的には、6次元球面のラグランジュ部分多様体から結合的グラスマン多様体へガウス写像と呼ばれる写像が定義され、それが調和写像になることを示した。八元数という代数の幾何学的な応用という意味で興味深いばかりでなく、6次元球面のラグランジュ部分多様体、結合的グラスマン多様体の調和写像の研究に新しい視点を導入し2つの対象の相互作用による研究の発展に寄与するものである。この成果は論文としてまとめ、学術雑誌に投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的、研究実施計画に沿って研究を進め、目標とした研究課題について一定の成果が得られたので、「おおむね順調に進展している。」と判断した。
具体的には「四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付け」の課題では、8次元四元数ケーラー対称空間である結合的グラスマン多様体について、興味深い複素部分多様体の例の構成を行い、その幾何学的特徴を明らかにするという成果を得た。この成果がまとめられた論文は数学専門誌に受理され掲載予定であり、また数学会でも発表するなど、成果の発信にも努めた。
「四元数射影空間の複素部分多様体に関する変換や変形の理論構築」については、異なる設定ではあるが類似の課題を研究した関連する文献を学び準備的な研究を進めた。次年度以降の研究につながるものと考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．四元数射影空間の複素部分多様体に関するBaecklund 変換に相当する変換や変形の理論構築に関しては、異なる設定での類似の課題についての先行研究（例えば、Lotay らによるラグランジュ部分多様体、全実部分多様体に関する研究、Hitchinによる複素シンプレクティック多様体の複素ラグランジュ部分多様体の研究など） を深く検討し、変形理論の構築に向けた研究を進める。全複素部分多様体や横断的複素部分多様体をツイスター空間へリフトして議論する方法は有効と思われる。ツイスター空間の理論に深い蓄積がある研究分担者江尻と共同で取り組む。
２．四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関しては、実グラスマン多様体の部分多様体に焦点を絞り研究を進めたい。そのツイスター空間をより幾何学的に実現し，その描像に依拠して全複素部分多様体を構成することを試みる。Joyceや Cortesらの等質四元数多様体の構成法についてよく吟味し，等質複素部分多様体の構成方法を見出す研究を進める。
３．これまでに得られた成果の発信と四元数複素微分幾何学の研究のさらなる進展のため、本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関係する国内外の研究者との研究交流を進める。特に国際研究集会等での研究成果発表を行う。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由：研究代表者 塚田は、所属研究機関に設置されたグローバルリーダーシップ研究所において、29年度までその所長を務めた。30年度は所長の職は退いたものの、同研究所の業務に引き続き注力する必要があった。そのため国内外への出張がしにくく、直接訪問しての研究交流や研究発表がしにくかったこと。以上のような理由で次年度使用額が生じた。
今後の使用計画について：これまでに得られた成果の発信と四元数複素微分幾何学の研究のさらなる進展のため、本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関係する国内外の研究者との研究交流を進める。国際研究集会等での研究成果発表を行う。以上のように研究交流、研究成果発表を行うための旅費に多くの予算を充てる計画である。上記研究交流のほか、関係する専門分野の研究者から専門的知識の提供を受け、研究を進展させたい。その謝金等にも経費を充てたい。四元数幾何学, 複素微分幾何学や擬リーマン幾何学などの最新の成果を盛り込んだ幾何学関連の図書, 関連する話題について記載された代数学, 解析学, 物理学などの関連する図書を購入する費用にも支出したい.
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