2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K03271
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
塚田 和美 お茶の水女子大学, 名誉教授 (30163760)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
江尻 典雄 名城大学, 理工学部, 教授 (80145656)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 四元数ケーラー多様体 / 結合的グラスマン多様体 / 6次元球面 / 八元数 / 双ファイブレーション / ラグランジュ部分多様体 / 調和写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関わり、今年度は、八元数に依拠して定義される8次元四元数ケーラー対称空間である結合的グラスマン多様体の部分多様体に焦点を絞り研究を進め、次のような成果を得た。6次元球面には八元数に依拠して、概エルミート構造が自然に定まる。結合的グラスマン多様体と6次元球面には八元数の自己同型群であるG_2 が作用し等質多様体になる。この状況を受け、G_2の作用による11次元等質多様体からこれらの2つの多様体へのG_2同変双ファイブレーションが構成できることを示した。この双ファイブレーションは2つの多様体の幾何学を関係付ける興味深い役割を果たす。例えば、それぞれの多様体の各点の逆像をもう一方のファイブレーションによって写すと、6次元球面内の3次元全測地的ラグランジュ部分多様体、結合的グラスマン多様体の5次元全測地的部分多様体になることを明らかにした。特に、結合的グラスマン多様体の全測地的部分多様体がこのような方法で具体的に実現できることは興味深く、今後の全測地的部分多様体論の研究に寄与するものと期待される。また、この双ファイブレーションを通じて、6次元球面の幾何学から結合的グラスマン多様体の複素部分多様体を構成する可能性も考えられる。さらに、6次元球面のラグランジュ部分多様体から結合的グラスマン多様体へガウス写像と呼ばれる写像が定義され、それが調和写像になることを示した。6次元球面のラグランジュ部分多様体については多くの研究者により様々な構成方法が明らかにされている。それぞれの方法によって構成されるラグランジュ部分多様体のガウス写像として得られる調和写像の幾何学的性質を調べた。特に、同変調和写像や等質極小部分多様体が構成できることを明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的、研究実施計画に沿って研究を進め、目標とした研究課題について一定の成果が得られたこと及び準備的な研究がすすめられたので、「おおむね順調に進展している。」と判断した。
具体的には「四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付け」の課題では、8次元四元数ケーラー対称空間である結合的グラスマン多様体について、6次元球面の幾何学との興味深い関係を明らかにし、その部分多様体の構成方法を見出した。複素部分多様体の例の構成にも寄与することが期待される。「四元数射影空間の複素部分多様体に関する変換や変形の理論構築」については、異なる設定ではあるが類似の課題を研究した関連する文献を検討し、準備的な研究を進めた。
また、今年度はこれまで得られた研究成果の国内外での発信に努めた。特に、チェコで開催された微分幾何学の国際研究集会で発表した。この研究集会では、成果の発表だけでなく、四元数ケーラー幾何学の研究で先導的な役割を果たしている研究者5名と研究交流することができ、今後の研究の進展にむけて多くの示唆を得たことも大きい。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．四元数射影空間の複素部分多様体に関するBaecklund変換に相当する変換や変形の理論構築に関しては、異なる設定での類似の課題についての先行研究（例えば、MacLean、河井らによる Calibrated submanifolds の変形空間に関する理論、Hitchinによる複素シンプレクティック多様体の複素ラグランジュ部分多様体の研究など）を深く検討し、変形理論の構築に向けた研究を進める。全複素部分多様体や横断的複素部分多様体をツイスター空間へリフトして議論する方法は有効と思われる。Swann による四元数多様体上の等質ツイスター空間の構成理論を検討、応用の可能性を探る。ツイスター空間の理論に深い蓄積がある研究分担者江尻と共同で取り組む。
２．四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関しては、実グラスマン多様体に焦点を絞った研究をさらに進める。超曲面と全複素多様体の構成との関係を研究している研究者との研究交流も進め、研究を進展させたい。
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| Causes of Carryover |
今年度は研究分担者や本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者との研究交流を進め、国内外での研究集会等での研究成果発信に努めたが、30年度に生じた未使用額を上回るまでには至らなかった。
これまでに得られた成果の発信と四元数複素微分幾何学の研究のさらなる進展のため、本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者との研究交流や国際研究集会等での研究成果発表を行いたいと考えているが、新型コロナの影響で、国内外の出張が困難である。工夫をこらし、研究打合せ、研究交流ができるよう努めたい。上記研究交流のほか、関係する専門分野の研究者から専門的知識の提供を受け、研究を進展させたい。その謝金等にも経費を充てたい。引き続き、四元数幾何学, 複素微分幾何学や擬リーマン幾何学などの最新の成果を盛り込んだ幾何学関連の図書, 関連する話題について記載された代数学, 解析学, 物理学などの関連する図書を購入する費用にもあてたい.
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