2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K03271
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
塚田 和美 お茶の水女子大学, 名誉教授 (30163760)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
江尻 典雄 名城大学, 理工学部, 教授 (80145656) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 四元数ケーラー多様体 / 全複素部分多様体 / 実グラスマン多様体 / ツイスター空間 / ルジャンドル部分多様体 / Lie 球面幾何学の複素化 / Lie超球面 / デュパンサイクライド |
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| Outline of Annual Research Achievements |
四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関わり、前年度に続き実グラスマン多様体の全複素部分多様体に焦点を絞り研究を進め、ツイスター空間における対応物であるルジャンドル部分多様体に関するLie 球面幾何学の複素化の視点からの基礎理論を整備し、その応用として典型例の構成、特徴付けに関する結果を得た。
n次元実ベクトル空間 R^n の向き付けられた4次元部分空間のなすグラスマン多様体 Gr_4(R^n)は四元数ケーラー対称空間になる。ｎ次元複素ベクトル空間 C^n の複素2次元部分空間で標準的な複素内積を制限したとき零となるもの全体 H_2(C^n)は複素グラスマン多様体の複素余次元3の複素部分多様体になり、正則接触構造が自然に定まる。H_2(C^n)からGr_4(R^n)へ自然な射影が定義され、Gr_4(R^n)の四元数ケーラー構造に関するツイスターファイブレーションになる。これより、Gr_4(R^n)の（半分次元）全複素部分多様体の研究がH_2(C^n)のルジャンドル部分多様体の研究に帰着されることが分かる。今年度は、H_2(C^n)のルジャンドル部分多様体について、Lie 球面幾何学の複素化の視点から研究し、次のような成果を得た。基本図形であるLie超球面（複素2次超曲面）をルジャンドル部分多様体として実現する新たな構成法を見出し、それをもとに、ルジャンドル部分多様体の重要な不変量である曲率球の概念を導入した。さらに、曲率球の性質に着目したルジャンドル部分多様体の特徴付けの結果を示した。即ち、唯1つの曲率球を持つ場合はLie超球面の開部分多様体になること、相異なる曲率球を2つもつ場合として、デュパンサイクライドを研究し、同じ特性数をもつ２つのデュパンサイクライドは、局所的に Lie 接触変換で移り合うことを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究計画の継続として、研究目的に沿った成果を得ること及びこの研究課題で得られた成果を国内外で発表する事、本研究課題に関係する研究を行っている国内外の研究者と研究交流を行うことにより、本研究を深め、発展させることを目指した。
目標とした研究課題について一定の成果が得られた一方、新型コロナ感染拡大のため、国内外での研究発表、研究交流を対面で行うことができず、オンラインの利用によるものに限られ、十分には行うことができなかった。研究の発展、成果の発信で不十分な点があり、研究期間をさらに延長する必要が生じた。以上のような点を鑑み、「やや遅れている。」と判断した。
成果については、研究実績の項で述べた「ルジャンドル部分多様体に関するLie 球面幾何学の複素化の視点からの基礎理論を整備し、その応用として典型例の構成、特徴付けを与える」結果を得たこと。成果の発信に関しては、中田文憲氏を代表とする数理研での研究集会（オンライン）で講演の機会をいただいた。部分多様体論や関連する研究を専門とする研究者に研究概要を知っていただく上で、貴重な機会となった。
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| Strategy for Future Research Activity |
四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関して、前年度に続き、実グラスマン多様体に焦点を絞った研究を進展させる。より詳しくは、
１．Lie 球面幾何学の複素化の視点からの研究を発展させる。複素球面の複素超曲面と実グラスマン多様体の全複素部分多様体との対応の詳細（対応する幾何学的性質や不変量など）について明らかにする。
２．より一般にH_2(C^n)のルジャンドル部分多様体に関する研究を発展させる。具体的には、・等質ルジャンドル部分多様体の構成、分類、・ルジャンドル部分多様体の大域的な性質、変形について、解明する。
本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する研究者との研究交流を進め、また国内外での研究集会等での研究成果発表を行う。
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| Causes of Carryover |
前年度に続き、新型コロナ感染拡大のため、関連する研究を行っている研究者との研究交流、国内外での研究集会等の参加のための出張ができなかったため、次年度使用額が生じた。
使用計画：本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する研究者との研究交流や学会、研究集会等での研究成果発表を行いたいと考えている。引き続く新型コロナの影響で、国内外の出張ができない可能性もある。オンラインの活用など工夫をこらし、研究打合せ、研究交流ができるよう努めたい。上記研究交流のほか、関係する専門分野の研究者から専門的知識の提供を受け、研究を進展させたい。その謝金等にも経費を充てたい。
引き続き、四元数幾何学、複素微分幾何学や擬リーマン幾何学などの最新の成果を盛り込んだ幾何学関連の図書、関連する話題について記載された代数学、解析学、物理学などの関連する図書を購入する費用にも充てたい。
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