2022 Fiscal Year Research-status Report
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18K03271
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
塚田 和美 お茶の水女子大学, 名誉教授 (30163760)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
江尻 典雄 名城大学, 理工学部, 教授 (80145656) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 四元数ケーラー多様体 / 全複素部分多様体 / 実グラスマン多様体 / ツイスター空間 / ルジャンドル部分多様体 / Lie 球面幾何学の複素化 / Lie 曲率 / 四元数双曲空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関わり、次の２つについて研究を進め、結果を得た：1.実グラスマン多様体の全複素部分多様体のツイスター空間へのリフトであるルジャンドル部分多様体に関するLie 球面幾何学の複素化の視点からの基礎理論を進展させた。2.四元数双曲空間の等質全複素部分多様体を決定した。
１について： n次元実ベクトル空間 R^n の向き付けられた4次元部分空間のなすグラスマン多様体 Gr_4(R^n)は四元数ケーラー対称空間になる。ｎ次元複素ベクトル空間 C^n の複素2次元部分空間で標準的な複素内積を制限したとき零となるもの全体 H_2(C^n)は(複素) 2n-7 次元複素多様体となり、正則接触構造が自然に定まる。H_2(C^n)からGr_4(R^n)へ自然な射影が定義され、これがGr_4(R^n)の四元数ケーラー構造に関するツイスターファイブレーションになる。この結果から、Gr_4(R^n)の（半分次元）全複素部分多様体の研究がH_2(C^n)のルジャンドル部分多様体の研究に帰着されることが分かる。H_2(C^n)のルジャンドル部分多様体について、Lie 球面幾何学の複素化の視点から研究し、次のような成果を得た。これまでの研究で、ルジャンドル部分多様体の重要な不変量である曲率球の概念を導入した。曲率球に加え、実Lie 球面幾何学の場合と同様、Lie 曲率の概念を導入できることが分かった。今後の研究で、Lie 曲率の性質に着目したルジャンドル部分多様体の特徴付けに関する結果を得たい。また、該当する点を通るLie超球面（複素2次超曲面）すべてが曲率球となる典型例についてそれを特徴付ける結果を得た。
2について：四元数双曲空間の半分次元等質全複素部分多様体は全測地的複素双曲空間に限られることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究計画の継続として、研究目的に沿った成果を得ること及びこの研究課題で得られた成果を国内外で発表する事、本研究課題に関係する研究を行っている国内外の研究者と研究交流を行うことにより、本研究を深め、発展させることを目指した。
目標とした研究課題について一定の成果が得られた一方、引き続く新型コロナ感染のため、国内外での研究発表、研究交流を十分には行うことができなかった。また、研究成果の面でも当初の目標に対して届いていない点があり、研究期間をさらに延長する必要が生じた。以上のような点を鑑み、「やや遅れている。」と判断した。
成果については、研究実績の項で述べた「ルジャンドル部分多様体に関するLie 球面幾何学の複素化の視点からの理論を発展させる」ことを中心とした結果を得た。成果の発信に関しては、数学会年会で発表し、東京理科大で開催された研究集会「部分多様体幾何とリー群作用2022」で講演の機会をいただいた。後者の研究集会は部分多様体論やLie 群論に関連する研究を専門とする研究者に研究概要を知っていただく上で、貴重な機会となった。
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| Strategy for Future Research Activity |
四元数（擬）ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関して、前年度の成果を踏まえ、次のように研究を進展させる。
１．実グラスマン多様体の全複素部分多様体に関し、Lie 球面幾何学の複素化の視点からの研究を発展させる。複素球面の複素超曲面と実グラスマン多様体の全複素部分多様体との対応の詳細（対応する幾何学的性質や不変量など）について明らかにする。
２．より一般にH_2(C^n)のルジャンドル部分多様体に関する研究を発展させる。具体的には、・等質ルジャンドル部分多様体の構成、分類問題を研究する、・曲率球やLie 曲率を用いたルジャンドル部分多様体の特徴付けの問題を考える。また、Lie 曲率の性質を解明し、有効に活用できるようにする。
３．四元数双曲空間の全複素部分多様体について、曲率等の条件のもとでの特徴付けの研究を進展させる。
４．本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者との研究交流を進める。
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| Causes of Carryover |
引き続く新型コロナ感染のため、関連する研究を行っている研究者との研究交流、国内外での研究集会等の参加のための出張が思うようにはできなかったため、次年度使用額が生じた。
本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する研究者との研究交流や学会、研究集会等での研究成果発表を行いたいと考えている。新型コロナ感染防止に引き続き留意し、オンラインの活用など工夫をこらし、研究打合せ、研究交流ができるよう努めたい。上記研究交流のほか、関係する専門分野の研究者から専門的知識の提供を受け、研究を進展させたい。その謝金等にも経費を充てたい。
引き続き、四元数幾何学、複素微分幾何学や擬リーマン幾何学などの最新の成果を盛り込んだ幾何学関連の図書、関連する話題について記載された代数学、解析学、物理学などの関連する図書を購入する費用にもあてたい。
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