The differential geometry of complex submanifolds of a quaternionic manifold

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03271
• Research Institution: Ochanomizu University
• Principal Investigator: 塚田 和美 お茶の水女子大学, 無し, 名誉教授 (30163760)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 江尻 典雄 名城大学, 理工学部, 教授 (80145656) [Withdrawn]
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 四元数ケーラー多様体 / 全複素部分多様体 / 結合的グラスマン多様体 / 実グラスマン多様体 / 6次元球面 / ツイスター空間 / ルジャンドル部分多様体 / 複素Lie 球面幾何学

Outline of Annual Research Achievements

四元数ケーラー対称空間の複素部分多様体の構成、特徴付けの課題に関わり、結合的グラスマン多様体、実グラスマン多様体を対象に研究し次のような成果を得た。
八元数に依拠して定義される結合的グラスマン多様体に関して (1) 4 次元ベクトル空間内の2次元部分空間のなすグラスマン多様体から結合的グラスマン多様体への埋込を構成し、興味深い複素部分多様体の例となっていることを示した。(2) 6次元球面には八元数に依拠して概エルミート構造が定まる。ある11次元等質多様体から6次元球面と結合的グラスマン多様体へ双ファイブレーションが構成できることを示した上で、これを利用し6次元球面のラグランジュ部分多様体と結合的グラスマン多様体への調和写像の間の興味深い関係を調べた。
実ベクトル空間 R^n の4次元部分空間のなすグラスマン多様体 Gr_4(R^n)は四元数ケーラー対称空間となり、複素ベクトル空間 C^n の複素2次元部分空間で標準的な複素内積を制限したとき零となるもの全体H_2(C^n)は正則接触構造が自然に定まる複素多様体となる。H_2(C^n)からGr_4(R^n)へ自然な射影が定義され、四元数ケーラー構造に関するツイスターファイブレーションになる。このファイブレーションを通じて、H_2(C^n)のルジャンドル部分多様体とGr_4(R^n)の全複素部分多様体が対応している。H_2(C^n)のルジャンドル部分多様体に関する複素Lie球面幾何学の視点からの基礎理論を整備し、その応用として典型例の構成、曲率球の概念を用いた特徴付けに関する結果等を得た。複素Lie球面幾何学の視点によるGr_4(R^n)の複素部分多様体に関する四元数微分幾何学研究の先駆けとなるもので、今後の研究の発展が期待される。