群の作用する非正曲率空間および無限コクセター群と有限グラフの研究

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03273
• Research Institution: Shizuoka University
• Principal Investigator: 保坂 哲也 静岡大学, 理学部, 准教授 (50344908)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: コクセター群 / コクセター群の同型問題

Outline of Annual Research Achievements

与えられた２つの有限生成な無限コクセター群が群として同型か否かを判定する無限コクセター群の同型問題は重要で未解決な問題である。近年、世界的にこの同型問題の研究は急速に進んでいる。N.Brady-J.P.McCammond-B.Muhlherr-W.D.Neumann(2002)の「ツイスト」に関する研究から、Howlett-Muhlherr(2004)およびMarquis-Muhlherr(2008)の"angle-compatible"の研究およびCaprace-Przytycki(2010)によるツイストがないコクセター系のrigidityの研究によって、現在、与えられたコクセター系に対してangle-compatibleなコクセター系がすべて求められるならば、無限Coxeter群の同型問題は解決するところまで解明されている。本研究では、angle-compatibleなコクセター系を求める問題に対して、[共役な集合に関するある条件]の下で、コクセター系をツイストがないパーツに分解して考えるアプローチにより、有限のツイストで移りあえる必要十分条件に関する研究成果を得た。この結果から今後は「この[共役な集合に関する条件]が常に成立するか？」および「この有限のツイストで移りあえる必要十分条件は常に成立するか？」の２つの問いが、無限コクセター群の同型問題を解決する手掛かりになるかもしれないと期待される。もしもこのいずれかの問いに対して反例となるコクセター系が得られるならば、それは重要な例であり、有限のツイストで移りあえない未知のangle-compatibleなコクセター系の例を作ることができる可能性がある。また、もしもこの両方の問いに対し肯定的な解答が得られるならば、上述のことから無限コクセター群の同型問題は解決される。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本研究課題の目的の１つである「与えられた２つの有限生成無限コクセター群が群として同型か否かを判定する無限コクセター群の同型問題」に取り組み、今年度、研究成果が得られたため。

Strategy for Future Research Activity

(1) 無限コクセター群の同型問題について今回研究成果が得られ、その論文は現在学術誌に投稿中である。今後、投稿先からのレビューや研究者からの指摘を受けて論文をより完全な形に仕上げるとともに、もし可能ならば研究を更に進めたい。
(2) 有限単純グラフの再構成可能問題は古くからある有名で重要な未解決問題である。コクセター群およびフラッグ複体を用いた手法等によりこの問題に取り組む。
(3) CAT(0)空間に幾何学的に作用するある形の群の理想境界の位相は非可算無限のバリエーションを持つのではないかという予想がある。この予想に取り組み、CAT(0)群の理想境界の位相の研究に寄与したい。

Causes of Carryover

本研究を推進するための国内旅費として使用する予定だったが、今年度の研究においては必要がなかったため。
次年度において本研究を進めていく際に必要となる旅費または物品費に使用する。