2020 Fiscal Year Research-status Report
量子トロイダル代数に付随する差分方程式とハイパーケーラー商
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18K03274
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
菅野 浩明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (90211870)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子トロイダル代数 / 超対称ゲージ理論 / 量子 KZ 方程式 / 楕円型可積分系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
年度の前半は,昨年度から引き続いて非定常 Ruijsenaars 関数が２重楕円型可積分系の固有関数を与えるという予想について研究を継続した．２重楕円型可積分系は座標と運動量がともに楕円曲線に値をとる可積分系であり, 6 次元の超対称ゲージ理論の楕円曲線コンパクト化と深く関係している．また２重楕円型可積分系は座標と運動量を入れ替えに関する双対性を持ち,これは弦理論の S- 双対性や gl_1型量子トロイダル代数であるDing-庵原-三木 (DIM) 代数の SL(2, Z)対称性と関係している．残念ながら予想は一般的には成立しないことが分かったが,特別な場合には２重楕円型可積分系の固有関数と関係があることが確認できた．一方,6 次元の超対称ゲージ理論の観点から Affine Laumon 空間の楕円種数の計算に対応する非定常 Ruijsenaars 関数の一般化が定義できる．これを Macdonald 関数の一般化となる「分割でラベルされる新たな対称関数の族」とみなして,その性質を明らかにするとともに,適切なパラメータの極限をとれば既知の関数と一致することを確認した．
年度の後半は DIM 代数の MacMahon 表現について自由場で記述される Fock 表現との絡み作用素の真空期待値 （相関関数）が満たす KZ 型の差分方程式を導き,以前の研究で計算していた R 行列が現れることを示した．この際,絡み作用素のスペクトル変数のシフトを生成する作用素が普遍 R 行列から導かれることがポイントとなっている．また R 行列が対角的であるという性質から解は自由場の相関関数に対するWick の定理と同様に２点関数の積で書くことができる．この２点関数は Nekrasov 分配関数の構成要素を拡張したものとなっていることを示した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナウィルス感染拡大の影響で、予定していた研究集会の開催や外国人研究者の招聘ができなかった。このため国際共同研究の進捗に支障があった．
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| Strategy for Future Research Activity |
非定常 Ruijsenaars 関数の構成に現れるアフィン遮蔽作用素の意味を解明することが今後の課題である．とくにDing-庵原-三木代数の quasi-Hopf ツイストから得られる楕円型代数との関係を明らかにすることを目標とする．
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| Causes of Carryover |
コロナウィルス感染拡大のため,大阪での開催を準備していた国際研究集会が中止となったこと,および８月から９月にかけて予定していた海外出張ができなかったことが主な理由である．
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