2023 Fiscal Year Annual Research Report
Difference equations associated with quantum toroidal algebra and hyper-Kaehler quotient
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18K03274
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
菅野 浩明 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (90211870)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 非定常差分方程式 / 超対称ゲージ理論 / 量子 KZ 方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元共形場理論の共形ブロックは Virasoro 代数の表現論において基本的な役割を果たすが，変形 Virasoro 代数の共形ブロックの数学的定義は，まだ与えられていない．5次元版の AGT 対応は面欠陥付きの K 理論的 Nekrasov 分配関数と変形 Virasoro 代数の共形ブロックの対応を予想するので，面欠陥付きの K 理論的 Nekrasov 分配が満たす差分方程式を調べるという立場が可能である．実際 Sh.Shakirov 氏は，このような立場から，新しいタイプの非定常差分方程式 (Shakirov 方程式）を発見した．面欠陥付きの Nekrasov 分配関数に関しては，アフィン Laumon 空間をモジュライ空間とする記述も知られている．この観点から，我々は Shakirov 方程式が量子Knizhnik-Zamolodchikov (KZ) 方程式として理解できることを示した．具体的には理論に含まれる4個の質量パラメータのうち，2つを適切に特殊化することにより Shakirov 方程式のハミルトニアンが，量子アフィン代数U_q(\widehat{sl}_2) の完全対称表現に関する R 行列に一致することを示した．また分配関数を Jackson 積分を用いて書き換えることにより，量子 KZ 方程式の解空間の基底として知られている「松尾基底」と対応することを確かめた．
本研究課題ではハイパーケーラー商に付随する差分方程式を研究対象としたが，アフィン Laumon 空間はハイパーケーラー構造をもたず，ケーラー商として記述される．この意味で当初の予想より広い範囲で差分方程式が得られることが分かった．一方，代数的には量子トロイダル代数を想定していたが，Shakirov 方程式の背後にあったのは量子アフィン代数であった．この関係を解明することは今後の課題である．
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