部分双曲力学系の野性的挙動と滑らかさ

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03276
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 浅岡 正幸 京都大学, 理学研究科, 准教授 (10314832)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 力学系 / 分岐理論

Outline of Annual Research Achievements

ホモクリニック接触は野生的な挙動を生成する代表的なメカニズムであるが，最近，BarrientosとRaibekasにより，余次元の高いホモクリニック接触がC^2位相で持続的に起きるような例が構成された．彼らの例は部分双曲性を持ち，かつ，野生的な挙動を生成するメカニクスの一つであるblenderを，グラスマン多様体上に持ち上げたダイナミクスにおいて考えることで構成されており，C^2位相で考えることが本質的である．ただ，その方法ではもっとも余次元の高いホモクリニック接触が持続的になる例を構成することはできず，彼らの論文では予想とされていた．今年度の研究においては，2つのblenderに付随するカントール集合が持続的な交わりを持つような状態を見つけ出すことで，BarrientosとRaibekasの予想を肯定的に解決することができた．すなわち，2n次元多様体上のC^2微分同相写像の双曲集合で，n次元の安定多様体と不安定多様体を持ち，それらが持続的にn次元の接触を起こすような例を構成した．この構成は最近，BarrientosとPerezが調べたような余次元の高いヘテロクリニック接触の問題の最終解決にの応用も期待できるので，来年度の課題の一つとしたい．
また，実解析的な1次元反復写像系における周期点の増大度についても先行研究を分析した結果，まずは冪級数展開の増大度を抑えた形の制限された問題を考察することから始めるのがよいという結論に達した．来年度はその方向で研究を進めたい．
また，これらの研究と並行して，浅岡-入江のClosing Lemmaの方法の他の状況への適用への準備として，(2n-1)次元球面の上の標準的な接触構造を定める接触構造に関するReeb流に同様の議論を行うとしたときにどこに困難が生じるかについて考察した．そこで見つかった困難の解決も来年度以降の課題としたい．

Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

C^2位相が本質的に重要である分岐現象を引き起こすメカニズムを発見することができた．このメカニズムは高次元における普遍力学系などの野生的挙動を生成する可能性が高く，本研究において非常に有用であると期待される．

Strategy for Future Research Activity

今年度の研究の方向性を保って研究を進める．
まずは，今年度発見した分岐のメカニズムを用いて，C^2位相の下での野生的挙動を調べていく．その一方で，冪級数展開に制限をつけたときに周期軌道の増大度がどのように振る舞うかについての研究や，浅岡-入江のclosing lemmaの方法の高次元の場合への適用の可能性を探っていく．

Causes of Carryover

学内での用務と日程がぶつかってしまった国内出張が1つ取りやめとなり，その分の旅費が残額として残った．