2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K03276
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| Research Institution | Doshisha University |
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Principal Investigator |
浅岡 正幸 同志社大学, 理工学部, 教授 (10314832)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 力学系理論 / 葉層構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元トーラス上の面積保存写像に関するClosing Lemmaの研究から派生した，位相推移的な3次元Anosov流がR-coveredであることとBirkhoff切断の間の関連に関する研究を進めた．その結果，Birkhoff切断がすべての境界で正の傾きを持つときにはAnosov流がR-coveredになることを証明することができた．この結果の帰結として位相推移的な3次元Anosov流の不変葉層が向き付け可能であるとき．適切なGoodman-Fried手術によりR-coveredなものにすることが可能であることが従う．これは「位相推移的な3次元Anosov流はすべてGoodman-Fried手術によって古典的に知られているものと位相同値にできるか」という古くからの未解決問題への重要な一歩であると考えられる．なお，この結果は同時期にBonattiとMartyによって別な方法で独立に得られていたことが判明し，現在彼らとの共著論文として執筆中である．
2次元トーラス上の面積保存写像に関するClosing Lemmaに関してはEdtmairとHutchingsによってperiodic Fleor homologyを用いた手法によって解決された．この方法は浅岡と入江によるHamilton微分同相写像に対するClosing Lemmaの証明では3次元Reeb流を経由してEmbedded Contact homologyが用いられたことに比べると，道具立てがシンプルになっているため，面積保存系に対するClosing Lemmaの力学系的な観点からの理解にも役立つものと思われる．現在，次年度の研究に向けて，彼らの結果の詳細を調べている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度の時点で今年度の目標とした，3次元Anosov流がR-coveredであることとBirkoff切断のトポロジーとの関連に関する結果を証明することができた．この結果の帰結として3次元Anosov流のGoodman-Fried手術に関する研究において大きな進展が得られ，今後の発展が期待できる．
一方，研究目標の一つであったトーラス以外の曲面の面積保存写像に関するClosing Lemmaの問題はEdtmairとHutchingsによって解決されたが，彼らの手法はHamilton微分同相写像のClosing Lemmaにおける3次元Reeb流を経由した証明よりも多くの面で状況が整理されているため，Closing Lemmaのより力学系理論的な理解へつながることが期待できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
EdtmairとHutchingsによる曲面上のClosing Lemmaの証明の詳細を調べることで，未だそのメカニズムが明らかとはいえないClosing Lemmaの力学系理論的な理解を得たい．また，昨年度に得た退化したhomoclinic tangencyのpersistenceの結果を用いて，historic behaviorなどのr野性的なダイナミクスのpersistenceを示したい．
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| Causes of Carryover |
今年度も新型コロナ感染症の影響で参加を予定していた研究集会がオンラインになり，また予定していた研究打ち合わせのための出張の中止となった．次年度は新型コロナ感染症の影響が低減すると予想されるため，今年度使えなかった分を次年度に研究集会への参加や研究打ち合わせのための旅費として使用したい．
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