2018 Fiscal Year Research-status Report
The Chow norm and the existence problem of extremal metrics
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18K03277
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
満渕 俊樹 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (80116102)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 竜司 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Chow norm / 端的ケーラー計量 / Zariski 分解 / テスト配位 / 計量の存在問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Donaldson-Tian-Yau 予想の端的ケーラー版において、端的ケーラー計量が存在するための条件として、偏極射影代数多様体のいかなる安定性が最もふさわしい概念として設定されるのかということが、まず第一に考えられるべき問題である。そのための必要欠くべからざる基礎として，種々の K-安定性概念の間の関係を明確化することが重要な課題として挙がっていた。
（１）我々の最新の研究のひとつの成果として、強K-安定性が常に一様安定性を導くという定理が証明された。現在その最終的な報告書を論文としてまとめている所である。さらにこの定理の相対版についても同様のことが成り立つと思われるが、その証明の詳細についての確認作業を現在行っているところである。
一方、指数が単調に増加するテスト配位退化族について、指数１のテスト配位から来る部分と零ファイバー上の特異部分の和として書けることに着目して、端的ケーラー計量の存在に絡んだ様々な代数幾何的諸性質の体系的かつ詳細な研究を行った。その結果、Donaldson-Tian-Yau 予想の端的ケーラー版の安定性問題については、次の成果を得た。
（２）偏極射影代数多様体において、その偏極類に属する端的ケーラー計量が存在するならば、その偏極射影代数多様体は強K-安定であろうという予想について、その主な論点については大枠を肯定的に証明することに成功した。ただし残された課題としては、種々の細かな未整理点を詰めていくことにある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Donaldson-Tian-Yau予想の端的ケーラー版において、上記実績の（１）は、端的ケーラー計量の存在のための条件として偏極射影代数多様体が強K-安定性であることが、非常にふさわしい概念の有力候補であるということを示している。さらに実績の（２）については、最終的な詰めが行われるならば、強K-安定性が端的ケーラー計量の存在のための必要条件であることを示している。こうした結果は我々の研究課題に関し、後々の発展の基礎となり得るもので、初年度としてまずまずの結果だと思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究チームを中心として，Donaldson-Tian-Yau予想の端的ケーラー版やテスト配位退化族に関する勉強会を繰り返し開き、知見を深めるとともに問題を煮詰め、研究目的達成への道筋を確立する計画である。一方で我々の研究を基礎から支える備品や消耗品として、関連の書籍のみならず、計算機ソフトや 計算機関連の備品も購入する予定である。また、金沢での複素幾何国際シンポジウム等を組織することによって、情報収集のみならず研究成果の発表も行い国際的なレビューを受けたい.
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| Causes of Carryover |
平成31年度には，上記研究課題に関する研究打ち合わせを、北京清華大学教授の二木昭人氏と協力して北京においてかなりの回数行う予定である。そのための経費を一部捻出するために、さかのぼって平成30年度の基金助成金使用を控えめにした。（さらに平成31年度を準備段階として数年内に、我々の成果をSpringer Tokyo 社から出版する予定で、そのための予備的経費も計上する必要がある。）
（使用計画） 次年度使用額の部分の使用計画としては（ルーチンの勉強会や研究集会開催のための経費以外では）平成31年度に北京の清華大学で行う幾度かの研究打ち合わせの費用、およびSpringer Tokyo社から出版する我々の研究成果の出版予備費用等に充てる予定である。
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