2020 Fiscal Year Research-status Report
The Chow norm and the existence problem of extremal metrics
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18K03277
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
満渕 俊樹 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (80116102)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 竜司 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30252571)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Chow norm / 端的ケーラー計量 / テスト配位 / 計量の存在問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題の中でも中心的なテーマとして Donaldson-Tian-Yau 予想の端的ケーラー版において，端的ケーラー計量が存在するための条件として，偏極射影代数多様体のいかなる安定性が最もふさわしい概念として設定されるかという問題がある．その安定性の主な候補としては，相対強K-安定性，相対一様K-安定性，相対K-安定性の３つが有力であることが知られているが，このテーマに関しては，我々の最新の研究から次のような結果が得られるに至った．
（１）テスト配位族の Donaldson-Futaki 不変量の定義式の double limit の可換性や，その結果として相対強K-安定性と相対一様K-安定性の同値性が明らかになりつつあるが，それらを証明するにはかなりデリケートな議論が必要であり，引き続き確認作業を行っているところである．
（２）一方，偏極射影代数多様体において、その偏極類に属する端的ケーラー計量が存在するならば、その偏極射影代数多様体は相対強K-安定であろうという予想について、その大枠においては肯定的な結果が得られるが，そこでのいくつかの未整理点を定式化した．
実際，当該研究課題においてここ数年の間に得られた我々の成果は Springer Briefs in Mathematics というシリーズから Test Configurations, Stabilities and Canonical Kaehler Metrics（副題：Complex Geometry by the Energy Method）という題名の，総ページ数が 128 ページの本として Springer 社から2021年に出版される予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナ感染症の世界的な蔓延により，海外と研究交流を行う機会がほとんどなく，研究課題について我々が得た結果についてのレビューの機会が大きく損なわれているのが現状である．ただ課題についての出版計画はかなり進展している．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究課題の最終年度としては，新型コロナの影響を極力避けるような形で，Donaldson-Tian-Yau予想の端的ケーラー版やテスト配位退化族に関する勉強会やシンポジウムを繰り返し開くことによって、知見を深めるとともに問題を煮詰め，研究成果の最終的な集約を行う計画である。
一方で我々の研究を基礎から支える備品や消耗品として、関連の書籍のみならず、計算機ソフトや 計算機関連の 備品も購入する予定である。また、複素幾何国際シンポジウム等を組織することによって、情報収集のみならず研究成果の発表によって国際的なレビューを受けたい．
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| Causes of Carryover |
令和２年度も，令和元年に引き続き新型コロナの蔓延により，様々な研究活動がストップしてしまった．特にあらかじめ予定していた北京の清華大学への出張がすべてキャンセルになってしまった．
（使用計画）次年度使用額の部分の使用計画としては（ルーチンの勉強会や研究集会開催のための経費以外では）令和３年度に北京の清華大学で行う幾度かの研究打ち合わせの費用，および Springer 社から出版する我々の研究成果の出版費用等に充てる予定である．
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