2019 Fiscal Year Research-status Report
Study of group actions on manifolds by psedo-inverse limit systems of equivariant framed maps
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18K03278
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
森本 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 教授 (30166441)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
早坂 太 岡山大学, 環境生命科学研究科, 准教授 (20409460) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 擬逆極限 / 同変手術 / 不動点集合 / ポントリャーギン構成 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は，有限群 G と滑らかな多様体 M が指定されたとき，M 上の滑らかなG-作用を多様に構成する統一的な手法を構築することである．構成手法の根幹は，部分群のなす系列におけるシスマティックな同変手術の実行である．具体的には，次の(1)～(3)を研究することである．
(1) 枠付きG-写像とそれらの間の同変コボルディズム系のなす擬逆極限系を同変コホモロジー理論，同変横断正則理論，多様体のポントリャーギン構成法を用いて構成する．
(2) それに同変手術理論を適用し，指定された多様体上の多様なG-作用を構成する．
(3) 応用として，変換群論のいくつかの未解決問題を解決する．
(1) については「写像 f のnormal derivative が恒等写像である」という条件より「f が strongly regular である」という強い条件のもとでポントリャーギン構成を研究する方が理論が簡明になると気づいた．また平成３０年度の研究で，群5次交代群 A5，5次対称群 S5，位数 120 の特殊線形群 SL(2,5) の場合の具体例について観察を行い，平成３１年度でそれを精査し一般化を試みた．その結果，群 G の部分群の組 H < K に対し，d(H, K) = dim M^H - 2 dim M^K が十分大きな正数であるときは （2）が可能であることが分かってきた．この部分を同変鏡映手法としてフォーミュレイトする研究を行った（令和２年度も引き続き研究する必要がある）．一方 d(H, K) が 0，１ のような小さな数であるとき (2) が実行不可能である例が観察できた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和１年の研究において，（同変ポントリャーギン構成を見込んで）同変正則横断定理を研究し，「写像 f のnormal derivative が恒等写像である」という条件を「f が strongly regular である」という条件で取り換える研究成果があった．また d(H, K) が 0，１ のような小さな数であるとき (2) が実行不可能である例を発見し， d(H, K) の値が (2) の障害であることを知った．以上のことから研究は概ね順調に進展していると考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
具体的な課題として(1) 枠付きG-写像とそれらの間の同変コボルディズム系のなす擬逆極限系を同変コホモロジー理論，同変横断正則理論，多様体のポントリャーギン構成法を用いて構成する．(2) それに同変手術理論を適用し，指定された多様体上の多様なG-作用を構成する．(3) 応用として，変換群論のいくつかの未解決問題を解決する．をあげた．
これまでは，H を G の部分群とするとき，G-多様体あるいは実G-表現のH-不動点集合の次元の関係である weak gap 条件，gap 条件，strong gap 条件がG-多様体の同変手術では重要と認識して同変手術理論を整理してきた．しかし(2), (3)の研究を進めて行く過程で，これらの条件を G の部分群 K で H の正規化群 N を含むものに対して，rel K という概念のもとで weak gap 条件，gap 条件，strong gap 条件を設定して同変手術理論を構築することが必要であると気づいた．このため，この rel K バージョンの同変手術理論のフォーミュレイトを行い，そしてその変換群論上の応用を研究する．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスのため，令和２年３月開催予定であった日本数学会年会やシンポジウムが中止となったため，予定していた出張旅費の支出が無くなり残額が生じた。
令和２年前半に予定されていた研究集会も次々と中止となっているので，令和１年度の残額は令和２年度の研究に必要な物品の購入に充てる計画である。
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Research Products
(4 results)
