2020 Fiscal Year Research-status Report
Study of group actions on manifolds by psedo-inverse limit systems of equivariant framed maps
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18K03278
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
森本 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 特命教授 (30166441)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
早坂 太 岡山大学, 環境生命科学研究科, 准教授 (20409460) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 変換群論 / 同変手術理論 / one-fixed-point 作用 / k-pseudofree action / Smith 問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は，有限群 G と滑らかな多様体 M が指定されたとき，M 上の滑らかなG-作用を多様に構成する統一的な手法を構築することである．構成手法の根幹は，部分群のなす系列におけるシスマティックな同変手術の実行である．具体的には，次の(1)～(3)を研究することである．
(1) 枠付きG-写像とそれらの間の同変コボルディズム系のなす擬逆極限系を同変コホモロジー理論，同変横断正則理論，多様体のポントリャーギン構成法を用いて構成する．
(2) それに同変手術理論を適用し，指定された多様体上の多様なG-作用を構成する．
(3) 応用として，変換群論のいくつかの未解決問題を解決する．
令和３年度の研究では，新型コロナ感染対策を徹底するため，インターネットによるリモートセミナーにに参加して研究情報を交換し，研究を遂行した．特に，Adam Mickiewicz University の変換群論セミナーに参加したことは研究の進展に役立った．その結果「有限群 G の球面上の one-fixed-point G-作用」や「有限群の表現についての Smith 問題」に関するいくつかの未解決問題を解決できた．例えば，6 次元球面が滑らかな 3-pseudofree で effective な one-fixed-point G-作用を持つ必要十分条件は G が 5 次交代群 A_5, 5 次対称群 S_5, あるいは A_5 x Z_2 のいずれかに同型であることを証明した，ここで Z_2 は位数 2 の群である．また A_5, A_5 x Z_2, SL(2, 5) は 7 次元球面上に 3-pseudofree で effective な one-fixed-point G-作用を持つことを証明した．これらの研究成果を２つの国際研究集会（インターネットによるリモート会議）で発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有限群 G の部分群 H のなす Hasse ダイアグラムに G-表現空間 V のH-不動点次元のラベルを付けたダイアグラム D に関する条件で「dim V 次元の球面上の滑らかな one-fixed-point G-作用が存在する十分条件」を記述することができた．これにより有限群の one-fixed-point 作用に関するいくつかの未解決問題を解決できたから．
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| Strategy for Future Research Activity |
同変枠付写像の擬逆極限系に対する同変手術理論の解説と球面上の one-fixed-point 作用や球面の接空間表現についての Smith 問題に関するいくつかの結果を論文として発表できるように，研究成果を整理する．プレプリントができたら，国内外の研究者とこの研究成果について討議・検討を行いたい．またその過程で得られた問題について研究を行い，本研究課題の研究を深めたい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナ感染防止対策を徹底するするために，令和２年度は国内，国外への出張を取りやめた．また研究者を招聘しての講演会の開催も取りやめた．このような事情で令和２年度には旅費と謝金の支出がなく，上記のとおり215,291円の次年度使用額が生じた．令和３年度の前半にワクチンの接種を受ける予定であるので，ワクチン接種後は研究発表・研究交流の出張をし，またワクチン接種を終えた研究者を招いて講演会を開催したい．またオンライン会議を円滑に行うため，設備の充実を図りたい．主としてこれらの目的のために次年度使用額と令和３年度の助成金を合わせて使用したい．
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