2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of group actions on manifolds by psedo-inverse limit systems of equivariant framed maps
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18K03278
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
森本 雅治 岡山大学, 自然科学研究科, 特命教授 (30166441)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
早坂 太 岡山大学, 環境生命科学研究科, 准教授 (20409460) [Withdrawn]
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 同変コボルディズムの擬逆極限系 / 鏡映手術理論 / 同変手術類群 / 部分群のなす Hasse diagram / one fixed point action / 5次の交代群 / 5次の対称群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目的は，指定された有限群 G と滑らかな多様体 M に対し，M 上の滑らかなG-作用を多様に構成する統一的な構成理論を開発することである．構成法の根幹を成す理論は，部分群のなす系列におけるシスマティックな同変手術理論である．具体的には，次の(1)～(3)をすることである．
(1) 枠付きG-写像とそれらの間の同変コボルディズム系のなす擬逆極限系を同変コホモロジー理論，同変横断正則理論，多様体のポントリャーギン構成法を用いて構成する．
(2) それに同変手術理論を適用し，指定された多様体上の多様なG-作用を構成する．
(3) 応用として，変換群論のいくつかの未解決問題を解決する．
令和３年度の研究では次の研究をし，論文作成作業を進めた．G の部分群の全体を S(G) とし，次の性質を持つ S0, S1, S2, S3 の非交和に分解し，その分解に基づき同変手術を行う理論の構築である．ここで S0 は非可解部分群の全体，S1，S2 は可解部分群からなり，枠付きG-写像をコボルディズムの鏡映を利用して同変手術する部分，S3 は同変手術障害類群を利用して同変手術する部分である．この理論により，5 次の交代群 S_5 がn-次元球面 S^n 上に one-fixed-point action を持つのは n = 6, 10, 11, 12, あるいは n > 13 であることを証明した．また G = A_5 x Z_2 の場合には，n = 6, 7, 8 あるいは n > 9 であるときn-次元球面が effective one-fixed-point action を持つことを証明した．ここで A_5 は 5 次の交代群，Z_2 は位数 2 の群である．新型コロナ感染防止徹底のため，研究交流はインターネットを利用するリモートで行い，研究成果発表もリモートによる研究集会で行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
令和３年度の研究では G の部分群の全体をS(G) とし，それを S0, S1, S2, S3 の非交和に分解し，写像ρ: S1 ∪ S2 → S(G) を同伴させ，これらがある条件を満たすとき，球面上の様々なG-作用を構成できる理論を開発できた．なお，令和２年度の研究では S2 が空集合の場合に対応する研究成果を得ており，令和3年度にはこれを深化させた．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度は本課題研究の最終年度である．このため，これまでの研究成果を取りまとめ，成果発表をすることを主目標とする．また，本研究課題を総括するとともに，modified weak gap condition の成り立たない多様体上の同変手術理論についてさらに研究を深め，新たな研究課題と研究手法の開発に繋げていきたい．
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| Causes of Carryover |
令和２年３月以降，新型コロナ感染対策の実践が求められ，不要不急の移動をせずに研究を実施することが求められた．令和３年度においても，参加を予定していた研究集会がすべて Zoom meeting になり，研究旅費の使用が無くなった．その経費をリモート会議を円滑に行うためのコンピュータや付属物品の購入に充てたが，約29万円の残額が生じた．この残額は令和４年度の物品の購入や（国内移動が許容される状況になったとき）研究旅費として使用する予定である．
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Research Products
(5 results)
